# 9; Аксіоматичний метод з'явився в Древній Греції, а зараз застосовується у всіх теоретичних науках, насамперед у математиці.
# 9; Аксіоматичний метод побудови наукової теорії полягає в наступному. виділяються основні поняття, формулюються аксіоми теорії, а всі інші твердження виводяться логічним шляхом, спираючись на них.
Основні поняття виділяються в такий спосіб. Відомо, що одне поняття повинне пояснюватися за допомогою інших, які, в свою чергу, теж визначаються за допомогою якихось відомих понять. Таким чином, ми приходимо до елементарних понять, які не можна визначити через інші. Ці поняття і називаються основними.
# 9; Коли ми доводимо твердження, теорему, то спираємося на передумови, які вважаються вже доведеними. Але ці передумови теж доводилися, їх потрібно було обґрунтувати. Зрештою, ми приходимо до недоказовості тверджень і приймаємо їх без доказу. Ці твердження називаються аксіомами. Набір аксіом повинен бути таким, щоб, спираючись на нього, можна було довести подальші твердження.
# 9; Виділивши основні поняття і сформулювавши аксіми, далі ми виводимо теореми й інші поняття логічним шляхом. В цьому і полягає логічне будова геометрії. Аксіоми і основні поняття складають підстави планіметрії.
# 9; Так як не можна дати єдине визначення основних понять для всіх геометрій, то основні поняття геометрії слід визначити як об'єкти будь-якої природи, що задовольняють аксіомам цієї геометрії. Таким чином, при аксіоматичному побудові геометричної системи ми виходимо з деякої системи аксіом, або аксіоматики. У цих аксіомах описуються властивості основних понять геометричної системи, і ми можемо представити основні поняття у вигляді об'єктів будь-якої природи, які мають властивості, зазначеними в аксіомах.
# 9; Після формулювання і доказу перших геометричних тверджень стає можливим доводити одні твердження (теореми) за допомогою інших. Докази багатьох теорем приписуються Піфагору і Демокріту.
# 9; Гіппократа Хіоському приписується складання першого систематичного курсу геометрії, заснованого на визначеннях і аксіомах. Цей курс і його наступні обробки називалися "Елементи".
# 9; Потім, в III в. до н.е. в Олександрії з'явилася книга Евкліда з тією ж назвою, в російській перекладі "Почала". Від латинської назви "Почав" відбувся термін "елементарна геометрія". Незважаючи на те, що твори попередників Евкліда до нас не дійшли, ми можемо скласти деяке думку про ці твори по "Початкам" Евкліда. В "Засадах" є розділи, логічно дуже мало пов'язані з іншими розділами. Поява їх пояснюється тільки тим, що вони внесені за традицією і копіюють "Початки" попередників Евкліда.
# 9; "Почала" Евкліда складаються з 13 книг. 1 - 6 книги присвячені планіметрії, 7 - 10 книги - про арифметику і несумірні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Книги з 11 по 13 присвячені стереометрії.
# 9; "Почала" починаються з викладу 23 визначень і 10 аксіом. Перші п'ять аксіом - "загальні поняття", інші називаються "постулатами". Перші два постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій - за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, "усі прямі кути рівні між собою", є зайвим, так як його можна вивести з інших аксіом. Останній, п'ятий
постулат говорив. "Якщо пряма падає на дві прямі і утворює внутрішні односторонні кути в сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з того боку, де кути менше двох прямих".
# 9; П'ять "загальних понять" Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, обсягів. "Рівні тому самому рівні між собою", "якщо до рівного додати рівні, суми рівні між собою", "якщо від рівних відняти рівні, залишки рівні між собою", "суміщають один з одним рівні між собою", "ціле більше частини ".
# 9; Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда з трьох причин. за те, що він розглядав тільки такі геометричні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки; за те, що він розривав геометрію і арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і, нарешті, за аксіоми Евкліда. Найбільш сильно критикували п'ятий постулат, найскладніший постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим, і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його слід замінити більш простим і наочним, рівносильним йому. "Через точку поза прямою можна провести в їх площині трохи більше одній прямій, що не перетинає дану пряму".
# 9; Критика розриву між геометрією і арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Спори про п'ятому постулаті привели до того, що на початку XIX століття Н. І. Лобачевський, Я. Бойяи і К. Ф. Гаусс побудували нову геометрію, в якій виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням. "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану". Ця геометрія була настільки ж несуперечливої, як і геометрія Евкліда.
# 9; Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 р
# 9; На евклідової площини проведемо горизонтальну пряму (див. Малюнок 1). Ця пряма називається абсолютом (x). Точки евклідової площини, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита полуплоскость, що лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги окружностей з центром на абсолюті або відрізки прямих. перпендикулярних абсолюту (AB, CD). Фігура на площині Лобачевського - фігура відкритої напівплощини, що лежить вище абсолюту (F). Неевклидова рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклідових відрізки рівні, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в інший. Такі основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевского.
# 9; Все аксіоми планіметрії Лобачевского несуперечливі. Визначення прямої наступне. "Неевклидова пряма - це півколо з кінцями на абсолюті або промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту". Таким чином, твердження аксіоми паралельності Лобачевского виконується не тільки для деякої прямої a і точки A. що не лежить на цій прямій, але і для будь-якої прямої a і будь-який не лежачої на ній точки A (див. рисунок 2).
# 9; За геометрією Лобачевського народилися й інші несуперечливі геометрії. від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатовимірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін. З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 - 50 років перетворилася в сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних зі своєю прародителькою - геометрією Евкліда.