Репетитор з математики про додаткові теореми планіметрії

Н а цій сторінці зібрані теореми планіметрії, які репетитор з математики може використовувати в підготовці здібного учня до серйозного іспиту: олімпіаді або іспиту в МГУ (в підготовці на Мехмат МГУ, ВМК), до олімпіади в Вищій Школі Економіки, до олімпіади в Фінансової Академії і в МФТІ. Знання цих фактів відкриває перед репетитором великі можливості по складанню конкурсних завдань. Досить «обіграти» якусь згадану теорему на числах або доповнити її елементи нескладними взаємозв'язками з іншими математичними об'єктами, і вийде цілком пристойна олімпіадних завдання. Багато властивостей присутні в сильних шкільних підручниках як задач на доказ і спеціально не виносяться в заголовки і розділи параграфів. Я постарався виправити цей недолік.

Математика - неосяжний предмет, а кількість фактів, які можна виділяти як теореми - нескінченно. Репетитор з математики не може фізично знати і пам'ятати всі. Тому якісь хитрі взаємозв'язку між геометричними об'єктами кожен раз відкриваються викладачеві заново. Зібрати всі їх на одній сторінці відразу - неможливо фізично. Тому я буду заповнювати сторінку поступово, у міру використання теорем на своїх уроках.

Раджу початківцям репетиторів з математики бути обережніше у використанні додаткових довідкових матеріалів, оскільки більшість цих фактів школярі не знають.

Репетитор з математики про властивості геометричних фігур

1)

Серединний перпендикуляр до сторони трикутника перетинається з бісектрисою протилежного їй кута на окружності, описаної близько даного трикутника. Це випливає з рівності дуг, на які серединний перпендикуляр ділить нижню дугу, і з теореми про вписаний в коло.

2)

Якщо з однієї вершини в трикутнику проведені бісектриса b, медіана m і висота h, то бісектриса буде лежати між двома іншими відрізками, а довжини всіх відрізків підкоряються подвійному нерівності.

3)

У довільному трикутнику відстань від будь-якої його вершини до його ортоцентра (точки перетину висот) в 2 рази більше відстані від центру описаного навколо цього трикутника окружності до протилежної цій вершині боку. Для доказу можна провести через вершини трикутника прямі, паралельні його висот. Потім використовувати подобу початкового і одержаного трикутника.

4)

Точка перетину медіан M будь-якого трикутника (його центр ваги) разом з ортоцентром трикутника H і центром описаного кола (точка O) лежать на одній примою, причому. Це випливає з попереднього властивості і з властивості точки перетину медіан.

5)

Продовження загальної хорди двох пересічних кіл ділить відрізок їх загальної дотичній на дві рівні частини. Це властивість вірно незалежно від характеру цього перетину (тобто від розташування центрів кіл). Для доказу можна скористатися властивістю квадрата відрізка дотичної.

6)

Якщо в трикутнику проведена бісектриса його кута, то її квадрат дорівнює різниці творів сторін кута і відрізків, на які бісектриса ділить протилежну сторону.

Тобто має місце рівність

7)

Чи знайома Вам ситуація, коли до гіпотенузи проводиться висота з вершини прямого кута? Напевно. А чи знаєте Ви, що всі трикутники, які при цьому виходять подібні? Напевно знаєте. Тоді напевно не знаєте, що будь-які відповідні елементи цих трикутників утворюють рівність, що повторює теорему Піфагора, тобто, наприклад,, де і - радіуси вписаних кіл в малі трикутники, а - радіус кола, вписаного в великий трикутник.

8)

Якщо вам попався довільний четирехульнік з усіма відомими сторонами a, b, c і d, то його площа можна легко порахувати по за формулою, що нагадує формулу Герона:
, де x - сума будь-яких двох протилежних кутів чотирикутника. Якщо даний чотирикутника є вписаною в коло, то і формула набуває вигляду:
і називається формулою Брахмагупти

9) Якщо ваш чотирикутник описаний близько окружності (тобто коло в нього вписана), то площа чотирикутника обчислюється за формулою

10)

Якщо чотирикутник одночасно є і вписаним і описаним (a + c = b + d), то попередня формула приймає совем простий вигляд:.

11)

Бісектриса, проведена в трикутнику ABC до сторона обчислюється за формулою, де b і з -дві інші сторони, а - кут між ними.

Досвідченому репетитора, щоб не втратити кваліфікацію, я раджу регулярно переглядати варіанти олімпіад незалежно від складу поточних учнів. Перш за все для підтримки відповідного рівня розвитку. Заглядайте в довідники та енциклопедії. Розширюйте свій кругозір і удосконалюйтеся! Для цього зроблено дана сторінка!

При наявність додаткових знань геометричних фактів репетитор з математики надасть вагому допомогу учневі в пошуку швидких рішень. Наприклад, таку допомогу можна отримати у мене в Строгіно. У перспективі, при щільній роботі з завданнями це призведе до зниження часу на вирішення завдання С4 на ЄДІ з математики. На ЄДІ можна вирішувати завдання будь-яким правильним способом, навіть із застосуванням засобів і властивостей, що не входять до шкільної програми (в тому числі методами вищої математики).

З глибокою повагою, Колпаков А.Н.
Кваліфікований репетитор з математики. Строгіно. м.Щукінская. Підготовка до будь-яких видів іспитів, а також до олімпіад.

Дякуємо. Матеріали сайту оформлені є і барвисто, часто використовую їх при вирішенні домашніх завдань. На жаль, живу в іншому місті і немає можливості найняти репетитора. У школі дають мінімум і тому для мене багато теореми з цієї сторінки були не знайомі.

Випадково натрапив на сайт. Дуже приємний, легкий, білий. Зайшов за запитом - точка перетину висот.

Ось якби були докази, було б набагато легше.