Ріманова Геометрія, мно-го-мер-ве обоб-ще-ня гео-мет-рії на по-верх-но-сті, пред-став-ляю-ний со-бій тео-рію ри-ма-но-вих про -странств, т. е. та-ких про-просторів, де в ма-лих об-лас-тях при-бли-дружин-но име-ет ме-сто ЕВК-ли-до-ва гео-мет-рія ( з точ-но-стю до ма-лих вис-ше-го по-ряд-ка по срав-ні-нию з раз-ме-ром об-лас-ти). Р. р по-лу-чи-ла своє назв. по име-ні Б. Рі-ма-на. за-ло-живий-ше-го її ос-но-ви в 1854.
Поняття про ріманової геометрії
Про-стей-ший при-заходів ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва та-ет лю-бая голод-кая по-верх-ність. Дей-ст-ві-тель-но, в дос-та-точ-но ма-лій ок-ре-ст-но-сті лю-бій точ-ки вона сов-па-да-ет (з точ-но стю до ве-ли-чин вис-ше-го по-ряд-ка ма-ло-сти) з ка-са-тель-ний пло-ко-стю в цій точ-ке, по-це-му в та- кой ок-ре-ст-но-сті со-від-но-ше-ня довжин на по-верх-но-сті бу-дуть та-ки-ми ж, як на пло-ко-сти (з точ-но -стью до ма-лих вис-ших по-ряд-ков). Т. о. в ма-лих об-лас-тях по-верх-но-сті име-ет ме-сто (з точ-но-стю до ма-лих вис-ших по-ряд-ков) ЕВК-ли-до-ва гео метил-рія. Напр. при через ме-ре-ні-ях на навчаючи-ст-ках зем-ної по-верх-но-сті, ма-лих по срав-ні-нию з раз-ме-ра-ми зем-но-го ша ра, мож-но з ус-пе-хом при-ме-нять зви-ву пла-ні-мет-рію, од-на-ко ре-зуль-та-ти з-ме-ре-ний на біль- ших навчаючи-ст-ках об-на-ру-жи-ва-ють су ще ст вен ное від-кло-ні-ня від за-ко-нів пла-ні-мет-рії. Тобто по-верх-ність, рас-гля-ри-ває-травня з точ-ки зо-ня через ме-ре-ний, про-во-ді-мих на ній, ока-зи-ва-ет- ся дво-мер-ним про-країн-ст-вом, внут-рен-ня гео-мет-рія ко-то-ро-го, бу-ду-чи ЕВК-ли-до-вої в біс-ко-неп -но ма-лом, в це-лом НЕ яв-ля-ет-ся ЕВК-ли-до-вий; до то-му ж, як пра-ви-ло, та-де про-країн-ст-во не-од-но-род-но по сво-їм гео-мет-річ. свій-ст-вам. Внутрішня гео-мет-рія по-верх-но-сті є не що інше, як Р. р в слу-чаї двох через ме-ре-ний, а по-верх-ність, рас-гля-ри-ває -травня з точ-ки зо-ня її внутрішньої гео-мет-рії, є дво-мер-ве ри-ма-но-пи-країн-ст-во.
Пе-ре-ні-се-ня цих по-ня-тий на мно-го-мер-ні про-країн-ст-ва при-во-дит до про-щей Р. р Імен-но, рас-гля -рі-ва-ет-ся аб-ст-Ракта-ве про-країн ст у $ n $ через ме-ре-ний, в ко-то-ром за-да-ет-ся за-кон з -ме-ре-ня рас-стоячи-ний, сов-па-даю щий вблі-зи ка-ж-дою точ-ки з зви-ним ЕВК-ли-до-вим з точ-но-стю до без- ко-неп-но ма-лих вис-ших по-ряд-ков. В ос-но-ве Р. р ле-жать три ідеї. Пер-вая з них - при-зна-ня то-го, що по-про-ще мож-ли-на гео-мет-рія, від-лич-ва від ЕВК-ли-до-вий, б-ла впер -вие раз ві та Н. І. Ло-ба-чев-ським. Вів-раю - йду-щие від К. Га-ус-са по-ня-тя внутрішньої гео-мет-рії по-верх-но-стей і її ана-лі-тич. ап-па-рат в ві-де квад-ра-тич-ної фор-ми, оп-ре-де-ляю-щей чи-ней-ний еле-мент по-верх-но-сті. Тре-тя ідея - по-ня-тя про $ n $ -заходи-му про-країн-ст-ве, ви-дві-ну-те і раз-пра-цю-тан-ве в про-стей-ших слу -ча-ях ря-будинок гео-мет-рів в 1-й пол. 19 в. Б. Рі-ман, со-оди-нив і обоб-щів ці ідеї, ввів, по-пер-вих, про-ний по-ня-тя про про-країн-ст-ве як про НЕ-пре-рив- ної со-по-куп-но-сті лю-бо-го ро-да од-но-тип-них об'єк-ек-тов, ко-то-які яв-ля-ють-ся точ-ка-ми це- го про-країн-ст-ва. По-дру-яких, він пе-ре-ніс на ці аб-ст-Ракта-ні про-країн-ст-ва пред-став-ле-ня про через ме-ре-ванні довжин біс-ко-неч- але ма-ли-ми ша-га-ми, т. е. дал про-ний пред-став-ле-ня про мет-ри-ке, оп-ре-де-ляе-мій фор-му-лій $$ ds = f (x ^ 1. x ^ n; dx ^ 1. dx ^ n). $$ Рі-ман ис-сле-до-вал мет-ри-ку, за-да-ває-мую фор-му- лій (2) (див. ні-же), ніж та по-ло-жив на-ча-ло Р. р .; кро-ме то-го, він на-ме-тил мож-ли-ні свя-зи Р. р зі свій ст ва-ми ре-аль-но-го про-країн-ст-ва. Та-ко-во крат-кое со-дер-жа-ня його лек-ції «Про ги-по-те-зах, ле-жа-ють в ос-но-ва-ванні гео-мет-рії», про -чи-тан-ної в 1854 і опуб-ли-ко-ван-ної лише по-сле його смер-ти, в 1868. як і мі-мо це-го, Рі-ман в ін. пра-цю-ті дав при-ло-же-ня ана-лі-тич. ап-па-ра-та сво-їй тео-рії до за-да-че про рас-про-стра-ні-ванні ті-п-ла в ани-зо-стежок-ном ті-ле. Ця пра-цю-та так-же з-да-на лише по-сле його смер-ти, в 1869. Сле-ду-ет від-ме-тить, що Р. р віз-ник-ла і раз- ві-ва-лась в пра-цю-тах Рі-ма-на в свя-зи з фі-зи-кою. Як і сле пуб-лі-ка-ції ри-ма-нів-ських ра-бот його ідеї при-тягнув-ли вни-ма-ня ря-да ма-те-ма-ти-ков, ко-то-які раз-ві-ва-ли даль-ше ана-лі-тич. ап-па-рат Р. р і ус-та-нав-ли-ва-ли в ній но-ші тео-ре-ми гео-мет-річ. ха-рак-те-ра. Так-ни так-же при-ме-ні-ня Р. р напр. в ме-ха-ні-ке. Важ-ним ша-гом б-ло ство-да-ня італ. ма-те-ма-ти-ка-ми Г. Річ-чи-Ку-ба-бу-ро і Т. Ле-ві-Чі-ві-тій на ру-бе-же 20 в. тен-зор-но-го ви-чис-ле-ня. ко-то-рої ока через-лось най-бо-леї під-хо-дя-щим ана-лі-тич. ап-па-ра-те для раз-ра-бот-ки Р. р Ре-Шаю-ний же зна-че-ня име-ло при-ме-ні-ня Р. р в ство-да-ванні об-щей тео-рії від-но-си-тель але сті. ко-то-раю б-ла три-розум-фом не тіль-ко аб-ст-Ракта-ної гео-мет-рії і її ана-лі-тич. ап-па-ра-та, а й ідей про свя-зи гео-мет-рії і фі-зи-ки, ви-дві-ну-тих Н. І. Ло-ба-чев-ським і Б. ри ма-ном. Це при-ве-ло до бур-но-му раз-ві-тію Р. р і її раз-но-про-раз-них обоб-ще-ний. Ни-ні Р. р вме-сте з її об-про-ще-ня-ми яв-ля-ет-ся про-шир-ної про-ла-стю гео-мет-рії, до то раю про -частка пані-ет ус-піш-но раз-ві-вать-ся в разл. на-прав-ле-ні-ях.
Визначення ріманова простору
До будів-го-го оп-ре-де-ле-нию ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва ли-во по-дой-ти сле-дую-щим про ра зом. За-ло-же-ня точ-ки про-країн-ст-ва $ n $ через ме-ре-ний оп-ре-де-ля-ет-ся $ n $ ко-ор-ді-на-ту -ми $ x ^ 1. x ^ n $. Евк-ли-до-під $ n $ -заходи-ве про-країн ст у ха-рак-те-ри-зу-ет-ся тим, що в ньому оп-ре-де-ле-но рас стоячи-ня ме-ж-ду лю-б-ми дво-ма точ-ка-ми X, Y, при-чому в над-ле-жа-ще ви-бран-них ко-ор-ді-на-тах воно ви-ра-жа-ет-ся фор-му-лій $$ s (X, Y) = \ sqrt ^ n (Δx ^ i) ^ 2> $$ де $ Δx ^ i $ - раз-но-сті ко-ор-ди-нат то-чек $ X $. $ Y $. З-від-вет-ст-вен-но ри-ма-но-пи-країн ст у ха-рак-те-ри-зу-ет-ся тим, що в ньому в ок-ре-ст- но-сті ка-ж-дою точ-ки $ A $ мо-гут бути вве-де-ни ко-ор-ді-на-ти $ x ^ 1. x ^ n $ так, що рас-стоячи-ня ме-ж-ду точ-ка-ми $ X $. $ Y $. близ-ки-ми до $ A $. ви-ра-жа-ет-ся фор-му-лій $$ s (X, Y) = \ sqrt ^ n (Δx ^ i) ^ 2> + ε, \ tag $$ де $ ε $ та-ко- во, що $ \ frac \ rightarrow 0 $. ко-ли точки $ X $. $ Y $ при-бли-жа-ють-ся до $ A $. От-сю-да сле-ду-ет, що в про-з-воль-них ко-ор-ді-Натах рас-стоячи-ня ме-ж-ду близ-ки-ми точ-ка-ми з до- ор-ді-на-та-ми $ (x ^ i) $ і $ (x ^ i + dx ^ i) $. або, що те ж са-моє, диф-фе-рен-ци-ал дли-ни ду-ги кри-вої, за-да-ет-ся фор-му-лій $$ ds = \ sqrtg_dx ^ i dx ^ i>, \ tag $$ де ко-еф-фі-ци-ен-ти $ g_ = g_ (x ^ 1. x ^ n) $ суть функ-ції ко-ор-ди-нат [в спец. ко-орди-на-тах $ ds = \ sqrt $. а при пе-ре-ході до про-з-воль-ним ко-ор-ді-на-там сум-ма $ \ sum_i (dx ^ i) ^ 2 $ пре-вра-ща-ет-ся в по- ло-жи-тільну квад-ра-тич-ву фор-му об-ще-го ві-да]. Об-рат-но, хай в ка-ж-дою точ-ке $ n $ -заходи-но-го про-країн-ст-ва за-да-на по-ло-жи-тель-ва квад-ра- тич-ва фор-ма $$ \ sum_ g_dx ^ i gx ^ j. \ tag $$ Ес-ли оп-ре-де-лити дли-ну кри-вої як ін-ті-Граля від $$ \ sqrt g_dx ^ i gx ^ j> $$ уздовж цієї кри-вої і рас-стоячи-ня ме-ж-ду точ-ка-ми $ X $. $ Y $ як мі-ні-мум (точ-ву ниж нюю грань) довжин кри-вих, з-оди-няю-чих ці точ-ки, то про-країн ст у ока-жет-ся ри- ма-но-вим в смислі-ле дан-но-го ви-ше оп-ре-де-ле-ня. Го-во-рят, що фор-ма (3) за-да-ет мет-ри-ку (за-кон через ме-ре-ня рас-стоячи-ний) ри-ма-но-ва про-країн -ст-ва; ви-ра-же-ня (2) на-зи-ва-ет-ся ли-ней-ним еле-мен-том $ ds $ про- країн-ст-ва. Оп-ре-де-ле-ня дли-ни як ін-ті-гра-ла від $ ds $ со-від-вет-ст-ву-ет через ме-ре-ня довжин «біс-ко-неч- але ма-ли-ми ша-га-ми »(як це від-ме-чал ще Б. Рі-ман). Т. о. ри-ма-но-пи-країн ст у мож-но ана-лі-ти-че-скі оп-ре-де-лити як та-де, в ко-то-ром в ка-ж-дою точ-ке за-да-на квад-ра-тич-ва фор-ма (3). Мож-ли-ність пре-про-ра-зо-ва-ня ко-ор-ди-нат при-во-дит до то-му, що од-но і той же ри-ма-но-пи-країн -ст-ть в раз-них ко-ор-ді-на-тах име-ет раз-ні ви-ра-же-ня цієї мет-річ. фор-ми, од-на-ко її ве-ли-чи-на (слідом-ст-віє сво-його гео-мет-річ. смислі-ла квад-ра-та еле-мен-ту дли-ни ду ги) при пре-про-ра-зо-ва-ванні ко-ор-ди-нат від $ x ^ i $ до $ \ tilde x ^ i $ ос-та-ет-ся НЕ-з-мен-ної: $$ \ sum_ g_dx ^ i gx ^ j = \ sum_ \ tilde g_d \ tilde x ^ ig \ tilde x ^ j. $$ Так як за-да-ня квад-ра-тич-ної фор-ми рав-но силь-но за-да-нию ко-еф-фі-ци-ен-тов $ g_ $ з вка-за-ні-му за-ко-на їх пре-про-ра-зо-ва-ня, то ри ма-но-пи-країн ст у мож-но оп-ре-де-лити як по-ле два-ж-ди ко-ва-ри-ант-но-го сім-мет-річ-но -го ($ g_ = g_ $) тен-зо-ра $ g_ $; його на-зи-ва-ють мет-річ. тен-зо-ром. Ес-ли при цьому до-пус-тить, що фор-ма (3) мо-же при-ні-мати і від-ри-ца-тель-ні зна-че-ня, то по-лу-ча-ет -ся обоб-ще-ня Р. р при-ме-няе-моє в тео-рії від-но-си-тель але сті.
Про-стей-ший слу-чай ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва пред-став-ля-ет ЕВК-ли-до-пи-країн-ст-во, до не-му при- ми-ка-ють два дру-гих ти-па ри-ма-но-вих про-просторів, в ко-то-яких віз-мож-но дві-же-ня фі-гур з той-який же сво-бо -дой, як в ЕВК-ли-до-вом про-країн-ст-ве, при цьому під дві-же-ні-ем по-ні-ма-ет-ся пре-про-ра-зо-ва-ня , що не ме-няю-ний рас-стоячи-ний ме-ж-ду точ-ка-ми. Гео-мет-рії цих про-просторів - Ло-ба-чев-ско-го гео-мет-рія і Рі-ма-на гео-мет-рія (НЕ сме-ши-вать з про-щей ри-ма но-вої гео-мет-ри-їй, см. Не-ЕВК-ли-до-ви гео-мет-рії). Ці НЕ-ЕВК-ли-до-ви гео-мет-рії суть ча-ст-ні слу-чаї Р. р свя-зан-ні, замість-сте з ЕВК-ли-до-вої гео-мет-ри -ів, зі слу-ча-ем най-біль-ший мож-ли-ний од-но-род-но-сті ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва.
Деякі поняття ріманової геометрії
Ка-са-тель-ве ЕВК-ли-до-пи-країн-ст-во. За оп-ре-де-ле-нию ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва, мет-ри-ка ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва в ок-ре-ст -но-сти ка-ж-дою точ-ки сов-па-да-ет (з точ-но-стю до біс-ко-неп-но ма-лих по-ряд-ка ви-ше 1-го) з ЕВК-ли-до-вої мет-ри-кою. Це по-зво-ля-ет з-пос-та-вити ка-ж-дою точ-ке $ A $ дан-но-го ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва $ R $ т. н. ка-са-тель-ве ЕВК-ли-до-пи-країн ст у $ E_A $. в ко-то-рої ото-бра-жа-ет-ся ок-ре-ст-ність $ U $ точ-ки $ A $ так, що від-но-си-тель-ве ис-ка-же-ня рас-стоячи-ний стре-міт-ся до ну-лю при при-бли-же-ванні до точ-ке $ A $. Ана-ли-ти-че-скі це сво-дит-ся до сле-дую-ще-му: вблі-зи НЕ-ко-то-рій точ-ки $ A_0 $ про- країн-ст-ва $ E_A $ вво-дять-ся ко-ор-ді-на-ти так, що в них квад-рат ли-ней-но-го еле-мен-ту $ ds_0 ^ 2 $ ЕВК-ли-до-ва про-країн- ст-ва $ E_A $ ви-ра-жа-ет-ся той-який же фор-мій $ \ sum_ g_ (A) dx ^ i dx ^ j $. ка-кой ви-ража-ет-ся квад-рат ли-ней-но-го еле-мен-ту ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва $ R $ в точ-ке $ A $. Зна-че-ня по-ня-ку ка-са-тель-но-го ЕВК-ли-до-ва про-країн-ст-ва з-сто-ит в тому, що, по-скільки-ку мож- але пре-небі-мова ма-ли-ми по-ряд-ка ви-ше 1-го, ок-ре-ст-ність точ-ки в ри-ма-но-вом про-країн-ст-ве мож- але за-ме-нять про-ла-стю ка-са-тель-но-го про-країн-ст-ва.
Дли-на ду-ги $ S $ кри-вої $ x ^ i = x ^ i (t) $. $ I = 1. n $. $ T_1⩽t⩽t_2 $. в ри-ма-но-вом про-країн-ст-ве $ R $ оп-ре-де-ля-ет-ся як ін-ті-Граля $$ S = \ int ds = \ int \ sqrt g_dx ^ i dx ^ j> = \\ = \ int _ ^ \ sqrt g_ \ frac \ frac> dt $$ уздовж цієї кри-вої. Ес-ли лю-бие дві точ-ки про-країн-ст-ва $ R $ з-оди-ні-ми кри-вої, то $ R $ ста-но-вит-ся мет-річ. про-країн-ст-вом, рас-стоячи-ня $ ρ (X, Y) $ ме-ж-ду дво-ма точ-ками оп-ре-де-ля-ет-ся як точ-ва ниж-ня грань довжин кри-вих, з-оди-няю-чих ці точ-ки, і на-зи-ва-ет-ся внут-рен-ній мет-ри-кою ри-ма-но-ва про-країн-ст -ва $ R $.
Кут ме-ж-ду дво-ма ис-хо-дя-щі-ми з од-ної точ-ки $ A $ кри-ви-ми оп-ре-де-ля-ет-ся як кут ме-ж- ду ка-са-тель-ни-ми століття-то-ра-ми до кри-вим в точ-ке $ A $. Об'єк-ем $ n $ -заходи-ної про-лас-ти $ G $ ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва оп-ре-де-ля-ет-ся по фор-му-ле $ $ V = \ int \ int \ sqrtdx ^ 1 \ dots dx ^ n, $$ де $$ g = \ left | \ Begin g_ \ cdots g_ \\ \ cdots \ cdots \ Cdots \\ g_ \ cdots g_ \ end \ right |. $$
Чи-ванні, ко-то-які на дос-та-точ-но ма-лих навчаючи-ст-ках яв-ля-ють-ся крат-чай-ши-ми з усіх кри-вих з те-ми ж кін -ка-ми, на-зи-ва-ють-ся гео-де-зи-че-скі-ми, вони иг-ра-ють роль пря-мих в ри-ма-но-вом про-країн-ст- ве $ R $. Вони яв-ля-ють-ся екс-тре-ма-ля-ми функ-ціо-на-ла $$ T = \ int \ sqrtg_dx ^ i dx ^ j>. $$ Че-рез ка-ж-дую точ ку ри-ма-но-ва про-країн-ст-ва в лю-бом на-прав-ле-ванні про-хо-дить гео-де-зи чого скаю, і при-том єдиний-ст- вен-ва.
Додатки та узагальнення ріманової геометрії
Так як ри-ма-но-пи-країн ст у мож-но оп-ре-де-лити як по-ле два-ж-ди ко-ва-ри-ант-но-го сім-мет річ-но-го тен-зо-ра, то вся-кую фі-зіч. за-да-чу, сво-дя-щую-ся до изу-че-ня та-ко-го тен-зор-но-го по-ля, мож-но фор-му-ли-ро-вать як за- да-чу Р. р ча-ст-но-сті, до тен-зор-ним по-лям та-ко-го ти-па від-но-сят-ся разл. фі-зіч. ве-ли-чи-ни, ха-рак-те-ри-зую-щие уп-ру-Гії, оп-ти-че-ські, тер-мо-ді-на-мі-че-ські, ді-електро -три-че-ські, п'є-зо-маг-ніт-ні та ін. свій ст ва ани-зо-стежок-них тіл. Так, за-да-ча про те-п-ло-про-вод-но-сті ани-зо-стежок-но-го ті-ла, ре-Шен-ва Б. Рі-ма-ном (1861), яви-лась пер-вим при-ло-же-ні-му ри-ма-но-вої гео-мет-рії.
Раз-ві-тя Р. р в свя-зи з про-щей тео-ри-їй від-но-си-тель але сті і ме-ха-ні-кою суцільно-них середовищ по-ро-ді -ло разл. обоб-ще-ня її пред-ме-та, важ-ней-ши-ми з ко-то-яких яв-ля-ють-ся т. н. псев-до-ри-ма-но-ви про-країн-ст-ва. Та-ко-во, напр. со-глас-но тео-рії тя-го-ті-ня, мно-го-про-ра-зие со-б-тий (мно-го-про-ра-зие про-країн-ст-ва-вре- ме-ні) - че-ти-рёх-мер-ве про-країн-ст-во за-дан-ної на ньому зна-ко-ні-оп-ре-де-льон-ної НЕ-ви-ро- ж-ден-ної квад-ра-тич-ної фор-мій $$ dσ ^ 2 = \ sum_ g_dx ^ i dx ^ j. $$ Ця фор-ма в ка-ж-дою точ-ке про-країн-ст -ва со-б-тий мо-же бути при-ве-де-на до ві-ду $$ dσ ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2-dt ^ 2, $$ де $ x $ . $ Y $. $ Z $ - про-країн-ст-вен-ні ко-ор-ді-на-ти, $ t $ - ча-ма. Один з дру-гих пу-тей обоб-ще-ня Р. р свя-зан з рас-смот-ре-ні-му бо-леї про-чих за-ко-нів оп-ре-де-ле-ня рас-стоячи-ний, за-да-ває-мих в ві-де лі-ній-но-го еле-мен-ту $ ds $.