3-х галузева економічна система задана матрицею коефіцієнтів прямих витрат А і вектором кінцевої продукції Y:
На перетині i -го рядка і j-го стовпця даної матриці знаходяться значення величин коефіцієнтів прямих витрат,
де xij - потік коштів виробництва з i -й галузі в j -ю (тобто кількість продукції i -й галузі, витраченої на виробництво продукції j -й галузі);
xj - валовий обсяг продукцііj -й галузі (всі обсяги виражені в вартісних одиницях).
Коефіцієнт витрат аij показує, яка кількість i-го продукту витрачається на виробництво одиниці j -го продукту.
Стовпець Y - це кінцева продукція галузей, яка виходить зі сфери виробництва (розподіляється на фонди невиробничого споживання і накопичення - особистого і громадського).
1) коефіцієнти повних витрат: В = (bij).
Коефіцієнт повних витрат bij показує, яким має бути валовий випуск i -й галузі xi для того, щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат забезпечити виробництво одиниці кінцевого продукту j -й галузі yj.
3) величину міжгалузевих потоків коштів виробництва, тобто значення xij. i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3;
4) обсяги умовно-чистої продукції
Обсяг умовно-чистої продукції являє собою суму чистої продукції та амортизації. У свою чергу, обсяг чистої продукції являє собою суму оплати праці та чистого доходу галузей.
5) Скласти таблицю МОБ, тобто результати розрахунків оформити у вигляді таблиці МОБ:
Споживають галузі (j) Виробляють галузі (i)
6) матрицю коефіцієнтів непрямих витрат С = (сij) = B - A - E.
Непрямі витрати відносяться до попередніх стадіях виробництва і входять у виробництво продукту не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва (або інші інгредієнти, що входять до даний продукт). Наприклад, на виготовлення трактора у вигляді прямих витрат витрачається чавун, сталь і т.д. але для виробництва сталі також потрібен чавун. Витрати цього чавуну є непрямими.
Прямі витрати здійснюються безпосередньо при виробництві даного продукту. Вони не відображають складних взаємозв'язків, зокрема, зворотних зв'язків.
7) По заданому вектору збільшення випуску кінцевої продукції
# 916; Y = (# 916; y1, # 916; y2, # 916; y3) = (20, 10, 5) визначити зміну плану виробництва валової продукції # 916; X.
Результати обчислень п.п. 1-4 уявити в формі таблиці МОБ.
Для вирішення задачі використовуємо рівняння МОБ
в розгорнутому вигляді:
1) Знаходимо матрицю повних витрат В = (E - A) -1:
Звертаємо матрицю E - A. тобто знайдемо В = (E - A) -1. Для цього:
Обчислюємо визначник матриці B:
Так як # 916; ≠ 0, то існує матриця В = (E - A) -1. зворотна заданої матриці E -A.
Знаходимо алгебраїчні доповнення для елементів матриці K = E - A:
Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень:
Транспоніруем цю матрицю (отримаємо наведену матрицю) і ділимо її на визначник # 916; = 0,511; в результаті отримуємо обернену матрицю В = (E - A) -1:
Розглянемо інший спосіб знаходження оберненої матриці В = (E - A) -1. приєднавши до матриці E - A одиничну матрицю і виконавши матричні перетворення:
Таким чином, матриця коефіцієнтів повних витрат
2) Знаходимо обсяги виробництва галузей (валова продукція):
Таким чином, планові обсяги валової продукції трьох галузей, необхідні для забезпечення заданого рівня кінцевої продукції, рівні:
4) Результати обчислень подамо у формі МОБ. Величина умовно-чистої продукції zj визначається як різниця між валовою продукцією галузі xj і сумою міжгалузевих потоків в кожному стовпці:
Споживають галузі (j) Виробляють галузі (i)
Необхідно перевірити виконання умови у вигляді рівності сумарного кінцевого продукту і сумарною умовно-чистої продукції:
Таким чином, на основі заданих матриць за рівнем кінцевого продукту Y і коефіцієнтів прямих витрат A отриманий збалансований план загального виробництва продукції і її розподілу в якості засобів виробництва між галузями і в якості продукції для кінцевого використання.
5) Знайдемо матрицю непрямих витрат за формулою: С = (сij) = B - A - E = =
6) Визначаємо зміна плану # 916; X. який буде потрібно при збільшенні випуску кінцевої продукції 1-ої галузі на 20 од. 2-й - на 10 од. і 3-й - на 5 од.
Отже, потрібно збільшити випуск валової продукції 1-ої галузі на # 916; x1 = 38,1 од. 2-й галузі - на # 916; x2 = 18,2 од. 3-й галузі - на 10,6 од.