Явищем дифузії називається процес встановлення всередині фаз рівноважного розподілу концентрацій.
Результатом дифузії при постійній температурі є вирівнювання хімічних потенціалів. В однофазної системі при постійній температурі і при відсутності зовнішніх сил дифузія вирівнює концентрацію компонента фази у всій системі. Якщо на систему діють зовнішні сили або підтримується градієнт температури, то в результаті дифузії встановлюються градієнти концентрацій окремих компонентів (термодифузія, електродифузія і інші процеси).
Рівняння дифузії в одновимірному випадку
Рівняння дифузії в одновимірному випадку () в двухкомпонентной системі - це перший закон Фіка:
де dm - маса першого компонента, яка переноситься за час dt через елементарну площадку dS в напрямку нормалі x до розглянутої майданчику в сторону зменшення щільності першого компонента, - градієнт щільності, D - коефіцієнт дифузії.
Якщо в однокомпонентної системі виділити групу молекул, вирівнювання концентрації виділених частинок за обсягом судини називається самодифузії. Самодифузія теж описується рівнянням дифузії (першим законом Фіка), в якому коефіцієнт D- називається коефіцієнтом самодифузії.
Рівняння дифузії в тривимірному випадку
У разі тривимірної дифузії зміна концентрації з плином часу при постійній температурі і відсутності зовнішніх сил описується диференціальним рівнянням дифузії:
де D- коефіцієнт дифузії, t- час. Якщо D не залежить від концентрації, то рівняння дифузії матиме вигляд:
Рівняння (3) ще називають другим законом Фіка, де - диференційний оператор Лапласа.
У тому випадку, якщо перенесення речовини викликаний лише градієнтом його концентрації рівняння дифузії можна записати і в наступному вигляді:
де c (x, t) - концентрація речовини в точці середовища в момент часу t, D - коефіцієнт дифузії, q - коефіцієнт поглинання, a F - інтенсивність джерел речовини. Величини D, q і F зазвичай є функціями координат і часу, а також можуть залежати від концентрації с (x, t). B останньому випадку, рівняння дифузії (4) стає нелінійним. У анізотропному середовищі коефіцієнт дифузії D є тензорним полем. У разі, коли величини D і q постійні рівняння (4) є рівнянням параболічного типу. Для такого типу рівнянь в математичній фізиці розроблені методи рішення. Допущення про постійність коефіцієнта дифузії справедливо у більшості випадків реалізуються на практиці. Рівняння дифузії не містять ніяких відомостей про механізми цього процесу. Основна мета рішення рівняння - знайти розподіл домішки c (x, t) після дифузії протягом певного часу при різних умовах здійснення процесу.
Рішення рівняння дифузії
Для виділення єдиного рішення для рівняння (4) необхідно задати початкові і граничні умови. Зазвичай, розглядають наступні граничні умови:
1) на кордоні поверхні S підтримується заданий розподіл речовини
2) на кордоні поверхні S підтримується задана щільність потоку речовини, що входить в V через кордон S:
де n - внутрішня нормаль до поверхні S
3) S- напівпроникності, і дифузія в зовнішнє середовище із заданою концентрацією через поверхню S відбувається за лінійним законом:
У найпростішому випадку, коли дифузія відбувається тільки уздовж однієї прямої і c = c (x, t) рівняння (3) запишеться у вигляді:
з початковою умовою:
Тоді рівняння (5) має рішення виду:
- поточна координата інтегрування.
Вираз (6) називається фундаментальним рішенням рівняння дифузії в разі (5).
Приклади розв'язання задач
Знайти масу газу (з молярної щільністю минулого внаслідок дифузії через площадку за час, якщо градієнт щільності в напрямі, перпендикулярному майданчику, дорівнює. Температура газу T, середня довжина вільного пробігу молекули.
Запишемо перший закон Фіка в термінах умов завдання:
Знак мінус означає, напрямок вектора щільності. Візьмемо модуль від правої частини виразу (1.1):
Знаючи, що, де - середня довжина вільного пробігу молекули, - середня швидкість молекули газу і вона дорівнює:.
Відповідно перетворимо (1.2), знайдемо шукану масу газу: