Дуже часто в рівняннях під знаком модуля стоять досить складні конструкції, які було б украй важко розкривати, а потім вирішувати «напролом». Для таких випадків існує безліч прийомів і зауважень, що дозволяють значно прискорити обчислення.
Одним з таких прийомів є врахування області значень модуля (вчителі називають це рішення методом наслідків). Суть його можна описати одним простим реченням: «Сума невід'ємних чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли кожне з цих чисел дорівнює нулю».
Сьогодні ми продовжуємо вивчати конструкції, що містять знак модуля функції і переходимо вже до більш складних конструкцій, коли іхдва, або саме рівняння містить нестандартну функцію.
трохи теорії
Для початку згадаємо визначення модуля: модулем числа $ x $ називається або саме це число (за умови, що воно невід'ємне), або мінус це число, якщо воно негативно:
Даний запис є алгебраїчним визначенням, тому що тут використовується тільки алгебраїчна термінологія і ніяк не залучається геометрія. І саме це визначення дозволяє нам зробити висновок наступний факт: модуль числа завжди неотрицателен:
\ [\ Left | x \ right | \ ge 0 \]
Саме тому його іноді ще називають абсолютним значенням, тобто відстанню від 0 до цього числа на числовій прямій. І саме той факт, що модуль функції завжди є невід'ємним числом, дозволяє вирішити цілий клас задач, які інакше вирішувалися б вельми проблематично.
Вирішуємо реальні завдання
Приклад № 1
Щоб вирішити такий вислів, давайте для початку згадаємо, як вирішується найпростіша конструкція з модулем, тобто рівняння виду $ \ left | f \ right | = g $.
Вирішуються вона досить просто. Розглядається два випадки: в першому випадку $ f $ неотрицательно - в цьому випадку модуль функції знімається без будь-яких змін і виходить, що $ f $ дорівнює $ g $. А в другому випадку $ f $ негативно - в цьому випадку модуль розкривається зі знаком «мінус», як ми вже знаємо з визначення. Запишемо сукупність систем:
Але все це працює тільки за умови, що модуль функції в вираженні один, а у нас сьогодні відразу два. Що робити в такій ситуації?
Давайте запам'ятаємо, що при складанні двох модулів виникає вираз, значення якого 0. Але, з іншого боку, ми можемо записати наступне:
В цьому випадку сума вищеописаних двох елементів також буде давати якесь число (назвемо його $ k $), яке більше або дорівнює 0. При цьому від нас вимагається, щоб воно строго дорівнювало 0. А це означає, що нас влаштує тільки той варіант, коли кожен з модулів дорівнює 0, тобто ми можемо записати:
Іншими словами, сума двох чисел, кожне з яких не менше 0, дає в сумі нуль тільки в тому випадку, коли кожне з них дорівнює 0, тобто вимоги повинні виконуватися одночасно. Тому запишемо систему:
Модуль функції дорівнює 0, коли підмодульних вираз дорівнює 0, тобто:
Давайте вирішимо кожне з отриманих виразів окремо. Вирішуємо перша:
\ [X \ left (1-x \ right) \ left (1 + x \ right) = 0 \]
При трьох таких значеннях тотожність обнуляється.
Тепер розберемося з другим виразом. Будемо вирішувати його за допомогою формули Вієта:
\ [\ Left (x + 2 \ right) \ left (x-1 \ right) = 0 \]
А тепер згадуємо, що ми вирішуємо систему рівнянь, тобто потрібно з першого і з другого наборів вибрати коріння, які належать кожному з цих наборів. Очевидно, що такий корінь тільки один - $ x = 1 $.
Разом рішенням першого виразу є єдиний корінь $ x = 1 $.
Як бачите, таке рішення виявилося значно простіше стандартного підходу. Тут досить просто помітити, що сума двох невід'ємних чисел дорівнює 0 тільки тоді, коли кожне з цих чисел має значення 0.
Приклад № 2
Переходимо до другої конструкції:
На перший погляд, можна сказати, що дана конструкція є найпростішим рівнянням. І, строго кажучи, воно добре вирішується по вище записаної формулою, тобто переходом від виразу з модулем функції до сукупності двох систем. Однак нас бентежить статечна функція - ступінь занадто велика. Тому давайте зауважимо, що функція $ f \ left (x \ right) = ^> $ є не просто парної, а й ще неотрицательной на всій числовій осі. А це означає, що $ - ^> $ завжди буде або негативної, або дорівнювати 0. Однак з іншого боку від знака рівності у нас стоїть модуль функції - а він завжди неотрицателен. Це означає що, зліва значення більше або дорівнює нулю, а праворуч - менше або дорівнює. І від нас потрібно дізнатися, коли ці значення один одному тотожні. Очевидно, що такими вони можуть бути тільки тоді, коли кожне з них дорівнює 0, тому що в іншому випадку вони будуть лежати по різні боки від розділяє 0, тобто $ \ Left | x-2 \ right | $ буде постійно відхилятися праворуч, а $ - ^> $ - вліво. Тому наше виразом може бути переписано наступним чином:
Давайте вирішимо ці конструкції:
Вирішуємо кожне з цих виразів:
Ми отримуємо, що корінь повинен бути одночасно дорівнює і 2 і 0. Це неможливо, тому рішенням даного виразу є порожня множина. Нехай вас не бентежать подібні відповіді при вирішенні завдань з модулями. Як і при роботі з будь-якими іншими функціями, накладають обмеження на область визначення або значення в рамках завдання, в процесі вирішення складних виразів з модулями функції цілком може виявитися, що цих рішень просто не існує.
Ключові моменти
- Сума двох невід'ємних чисел дорівнює нулю тоді, коли кожне з цих чисел дорівнює нулю. В результаті рівняння, яке саме по собі далеко не тривіальне, розбивається на систему з двох окремих рівнянь, кожне з яких вирішується значно простіше.
- Той факт, що модуль сам по собі є невід'ємним значенням, можна використовувати і інакше, наприклад, коли з одного боку стоїть модуль функції (ця сторона неотрицательна), а з іншого боку - функція, яка менше нуля або дорівнює нулю. В цьому випадку всі рівняння зводиться до системи з двох рівнянь, кожне з яких легко вирішується.
Як приклад, друге вираденія може бути зведене до рівності першого виду наступним чином:
Ми знову бачимо суму двох функцій, кожна з яких неотрицательна. Запам'ятайте цей прийом, він дуже ефективний при роботі з різними функціями, про які точно відомо, що вони приймають зайве негативне значення.
- Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
