по курсу «Опір матеріалів» для студентів
спеціальностей 151001.65, 240801.65, 260601.65
В елементах конструкцій при дії зовнішніх сил виникають внутрішні сили пружності. При осьовому розтягу (стиску) стрижня в його перетинах виникають тільки поздовжні сили N. Для їх обчислення застосовується метод перетинів. Розтягують поздовжні сили прийнято вважати позитивними, а стискають - негативними. Мірою внутрішніх сил є напруга, воно характеризує інтенсивність внутрішніх сил в точках перетину. При осьовому розтягу (стиску) стрижня в його поперечних перетинах діють тільки нормальні напруги s. Знак s визначається знаком N. При розтягуванні стержня його довжина збільшується, а поперечні розміри зменшуються. При стисненні - навпаки. В результаті зміни довжини стрижня його перетину роблять лінійні переміщення d уздовж поздовжньої осі Z.
У задачі 1 проводиться обчислення поздовжніх зусиль, нормальних напружень в поперечних перетинах стрижня, визначення переміщень перетинів стрижня, а також побудова відповідних епюр. Оскільки основним завданням розрахунку конструкції є забезпечення її міцності в умовах експлуатації, то також визначається коефіцієнт запасу міцності.
Стрижні і стрижневі системи, в яких внутрішні зусилля можуть бути визначені за допомогою рівнянь рівноваги статики, називаються статично визначними. Стрижні і системи, внутрішні зусилля в яких не можна визначити за допомогою одних лише рівнянь статики, називаються статично визначити неможливо. Для їх розрахунку необхідно розглянути систему в деформованому стані і скласти додаткові рівняння, що зв'язують переміщення елементів системи, Розкриття статичної невизначеності системи показано в задачі 2.
При центральному розтягу-стиску і при чистому зсуві міцність і жорсткість стрижня залежить від найпростішої геометричній характеристики - площі поперечного перерізу А. При інших видах деформації, наприклад, крутіння і вигин, міцність і жорсткість стержня визначаються не тільки площею поперечного перерізу стрижня, а й формою перетину. Тому для розрахунку на міцність і жорсткість в цих випадках доводиться використовувати більш складні геометричні характеристики перерізів: статичні моменти - Sx і Sy; моменти інерції: осьові Jx і Jy, відцентровий Jxy, полярний Jp; моменти опору: осьові Wx і Wy, полярний Wp. У задачі 3 визначаються геометричні характеристики плоского перетину стрижня, що складається з двох прокатних профілів.
РОЗРАХУНОК ступінчастою БРУСУ НА РОЗТЯГУВАННЯ -стиснений
Для ступеневої сталевого бруса (рис. 1, а), виконаного зі сталі марки Ст. 3, що має межу плинності Sт = 240 МПа, модуль Юнга
E = 2 × 105 MПа, потрібно:
1. Побудувати за довжиною бруса епюри поздовжніх сил N, нормальних напружень s і переміщень поперечних перерізів d.
2. Обчислити коефіцієнт запасу міцності бруса n.
Проведемо вісь z, збігається з віссю бруса. Напрямок осі вибираємо довільно. Брус жорстко затиснений верхнім кінцем в опорі, в якій виникає опорна реакція R. Напрямок вектора реакції вибираємо довільно. Величину опорної реакції знайдемо з рівняння рівноваги статики:
Σ FZ = 0; R - F1 + F2 = 0; R = F1 - F2 == 24 кН.
Розділимо брус на силові ділянки. Межами ділянок є поперечні перетину бруса, що проходять через точки прикладання зовнішніх навантажень і перетину, в яких змінюється площа поперечного перерізу бруса. Точки перетину осі бруса і граничних перетинів позначимо буквами B, C, D, K. Отримаємо 3 ділянки бруса.
Використовуємо метод перетинів. На кожній дільниці проводимо перетину I-I,
II-II, III-III. При цьому одну з частин бруса (більш складну) подумки відкидаємо і до площини перетину решти бруса прикладаємо вектор поздовжньої сили N в напрямку зовнішньої нормалі до перетину. Розглядаємо рівновагу решти бруса (рис. 2).
Рівняння рівноваги статики на кожній дільниці запишуться:
на першій ділянці BC (рис. 2, а) Σ FZ = 0; R - N1 = 0; N1 = R = 24 кН;
на другій ділянці CD (рис. 2, б) Σ FZ = 0; R - N2 = 0; N2 = R = 24 кН;
на третьому ділянці DK (рис. 2, в) Σ FZ = 0; N3 + F2 = 0; N3 = - F2 = - 42 кН.
Проведемо вертикальну лінію (рис. 1, б), паралельну осі y і відкладемо від неї в обраному масштабі на кожній ділянці вздовж цієї лінії позитивні значення поздовжньої сили вправо, а негативні вліво. Отримаємо епюру поздовжніх сил N (рис. 1, б).
Визначимо нормальні напруги # 963 ;, МПа, на кожній дільниці бруса за формулою
де N, Н - поздовжня сила на даній ділянці; А, м2 - площа поперечного перерізу даної ділянки.
Складати рівняння і не має сенсу, так як в них увійдуть не цікавлять нас реакції опори О (R3, R4). Таким чином, ми переконуємося ще раз, що завдання статично невизначена (в єдине рівняння статики (1) входять дві невідомі сили N1 і N2; навантаження Q в цьому рівнянні вважаємо заданої).
Для складання додаткового рівняння розглянемо деформацію системи. Під дією навантаження Q абсолютно жорсткий брус CD, залишаючись прямим, повернеться навколо шарніра О і займе положення C1D1 (рис.6). Точка В опише дугу, яку внаслідок малості кута С1ОС замінимо хордою ВВ1. Величина ВВ1 є подовження другого стрижня = ВВ1. Так як пружні деформації малі в порівнянні з довжинами стрижнів, то вважають, що кут між абсолютно жорстким брусом CD і ВК не змінився, тобто. З рис. 3 випливає, що a = 45 °. При цьому стрижні 1 і 2 подовжуються відповідно на величини і.
Подовження стрижня 1 () отримуємо на кресленні, опустивши перпендикуляр ВМ з точки В на КВ1 (положення стержня 1 після деформації).
З прямокутного трикутника ВВ1М (рис.6) слід, що
На підставі закону Гука (відрізок МВ1) і (відрізок ВВ1). При складанні цих виразів слід дотримуватися відповідність напрямки нормальних сил N1 і N2 деформацій стрижнів 1 і 2. У даному випадку стрижні 1 і 2 розтягуються і сили N1 і N2 - розтягують.
Умова сумісності деформацій (2) перепишеться так
З рис. 3 видно, що - довжина стержня 1; # 8467; 2 = в - довжина стрижня 2. Тоді вираз (3) отримує вид
Так як a = 45 °, то отримуємо: N1 = N2. Вирішуючи спільно рівняння (1) і (4), отримуємо
N1 = N2 = 0,488 · Q.
Після визначення зусиль N1 і N2 знаходимо величини нормальних напружень s1 і s2 в стрижнях 1 і 2:
Визначимо допустиму силу [Q]. з розрахунку по напрузі, що допускається. Так як s2> s1, то стан другого стрижня більш небезпечно. Тому для визначення допустимої сили [Q]. слід прирівняти напруга в другому стрижні s2 допустимому напрузі [s] = 160 МПа.
244 [Q]. = 160 · 103; [Q]. = КН.
Навантаження, що допускається [Q]. = 655,74 кН.
Визначимо допустиму силу qдоп. з розрахунку по допускаються навантажень. Напруга в другому стрижні виявилося більше, ніж в першому, тобто s2> s1. При збільшенні сили Q напруга в другому стрижні досягне межі текучості раніше, ніж в першому. Коли це станеться, напруга в другому стержнів не буде деякий час збільшуватися, система стане як би статично визначної, навантаженої силою Q і зусиллям у другому стрижні
При подальшому збільшенні сили напруга в першому стрижні також досягне межі текучості. Зусилля в цьому стрижні дорівнюватиме
Запишемо рівняння рівноваги статики для такого стану системи
де S т = 240 МПа - межа плинності матеріалу.
З цього рівняння знаходимо граничну вантажопідйомність системи
Навантаження, що допускається qдоп визначиться так
де n = 1,5 - коефіцієнт запасу міцності.
Порівнюючи отримані результати, бачимо, що допустиме навантаження qдоп, визначена з розрахунку по допускаються навантажень, більше допустимої навантаження [Q], з розрахунку по напрузі, що допускається в
Спосіб розрахунку по допускаються навантажень для статично невизначених систем дозволяє розкрити додаткові резерви міцності, підвищити несучу здатність системи і вказує на можливість більш економного витрачання матеріалу.
Розглянемо приклад на визначення геометричних характеристик плоского перетину. Перетин (рис. 7) складається з швелера № 30 і рівнополичного куточка 100х100х10. потрібно:
1. Визначити положення центра ваги поперечного перерізу.
2. Знайти осьові і відцентрові моменти інерції щодо випадкових осей (XC і YC), що проходять через центр ваги.
3. Визначити положення головних централь-них осей u і v.
4. Знайти моменти інерції щодо головних центральних осей.
5. Викреслити перетин в масштабі 1 2 і вказати на ньому все розміри в числах і все осі.
Випишемо з таблиць сортаменту всі дані, необхідні для розрахунку, і схематично зарісуем профілі елементів перетину (рис. 8).
Швелер № 30 по ГОСТ 8240-89. Площа А = 40,50 см2. Моменти інерції відносно власних центральних осей: JХ = 5810,0 см4,
Jу = 387,0 см4, Jху = 0. Так як одна з осей є віссю симетрії, то осі будуть головними і відцентровий момент щодо них дорівнює нулю. Центр ваги розташований на відстані z0 = 2,52 см від стінки швелера.
Кутник 100х100х10 по ГОСТ 8509-86. Площа
А = 19,24 см2. Моменти інерції JХ = jу = 178,95 см4, см4, см4. Відстань від центра ваги куточка до зовнішніх граней полиць z0 = 2,83 см. Кут між осями Х і Х0 дорівнює 45º. Для подальшого розрахунку знадобиться величина відцентрового моменту інерції куточка Jху. Її можна обчислити за формулою
Так як для рівнополичного куточка 45º, то sin 2 = sin 90º = 1.
Знак відцентрового моменту інерції куточка вибирається відповідно до рис. 9. При положеннях куточка (рис.9, а) і (рис.9, б) відцентровий момент інерції негативний, а при положеннях куточка (рис.9, в) і (рис.9, г) відцентровий момент інерції позитивний.
Перш ніж приступити до подальшого розрахунку, необхідно з дотриманням масштабу (в завданні завдання - це масштаб 1: 2) накреслити переріз,
(Ріс.Так як перетин складається з 2 елементів, пронумерованих цифрами I, II, необхідно ввести відповідні індекси в позначенні центрів тягарів (01, 02), центральних осей x1, y1, x2, y2 і відповідних моментів інерції. З рис. 10 видно , що центральні осі швелера x1 і y1 відповідають осях y і x швелера на рис. 8. Відповідно поміняються місцями осьові моменти інерції швелера.
Визначимо координати центра ваги перерізу відносно допоміжних осей x і y (рис. 10). Осі зручно провести так, щоб всі перетин розташовувалося в першому квадраті. Знайдемо координати центрів ваги елементів в системі осей x і y. З рис. 10 видно, що О1 (15; 2,52), О2 (22,17; 3,48). Координати центра ваги перерізу знаходяться за формулами:
У масштабі наносимо точку С з координатами Хс = 17,31 і Ус = 2,82 см на розрахункову схему і проводимо через т. З осі xс і Yс, паралельні осях x і y. Знаходимо координати центрів тягарів О1 і О2 елементів в отриманій системі координат xсСyс.
Користуючись формулами зв'язку між координатами точки щодо паралельних осей координат, отримаємо:
Для перевірки правильності знаходження координат центра ваги перерізу знайдемо статистичні моменти всього перерізу відносно центральних осей xс і Yс. Відомо, що статичні моменти перерізу відносно центральних осей повинні бути рівні нулю:
Близькі до нуля значення Sx і Sy показують, що координати центру ваги перерізу знайдені правильно. Відмінність їх від нуля - накопичена похибка обчислення.
Визначимо осьові і відцентрові моменти інерції перетину щодо довільних центральних осей xсyс. Використовуємо формули залежностей між моментами інерції щодо паралельних осей:
Визначимо напрямок головних центральних осей u і v. Тангенс кута нахилу головних центральних осей u і v до довільних центральним осях xс і Yс визначається за формулою
По знайденому значенню тангенса за допомогою таблиць або калькулятора знаходимо значення кута, звідки. Позитивний кут відкладається від осі xс проти годинникової стрілки і визначає положення однієї з головних центральних осей - u. Друга головна центральна вісь - v перпендикулярна осі u.
Покажемо на розрахунковій схемі (рис. 10) положення головних центральних осей u і v.
Для перевірки правильності визначення положення головних центральних осей знайдемо відцентровий момент інерції щодо цих осей u і v за формулою:
Відцентровий момент інерції щодо головних осей повинен бути рівним нулю. Отримана близька до нуля величина JUV показує, що становище головних осей визначено досить точно.
Визначимо моменти інерції щодо головних осей. Величини головних моментів інерції знаходяться за формулою:
Jmax = 6660,90 см4; Jmin = 511,86 см4.
Максимальний момент інерції Jmax буде відносно тієї головної центральної осі, яка ближче розташована до довільної центральної осі, момент інерції щодо якої має найбільше значення, тобто в нашому випадку це є вісь v - вона ближче всього до осі Yс з максимальним. Таким чином, отримуємо:
Jv = Jmax = 6660,90 см4; Ju = Jmin = 511,86 см4.
Для контролю визначення Jv і Ju перевіримо, чи виконується рівність:
Jv + Ju; 318,01 + 6654,74 = 7172,75 см4;
Jv + Ju = 511,86 + 6660,90 = 7172,76 см4.
З тією ж метою знайдемо відцентровий момент інерції по відомим головним центральним моментам інерції Jv і Ju і розі за формулою
Незначна відмінність від раніше знайденого значення = 194,47 см4 свідчить про достатньої точності визначення положення головних центральних осей і величин головних центральних моментів інерції.
Питання для самоперевірки
1. Які випадки деформації бруса називаються центральним розтягуванням або стисненням?
2. Як обчислюється значення поздовжньої сили в довільному поперечному перерізі бруса?
3. Як обчислюються напруги при центральним розтягуванні або
стисканні?
4. Як формулюється закон Гука? Що називається жорсткістю перерізу при розтягуванні (стисканні)?
5. Що називається модулем Юнга Е? Яка його розмірність?
6. Що називається допускаються напругою? Як воно вибирається для пластичних і крихких матеріалів?
7. Які конструкції є статично визначними, а які - статично визначити неможливо?
8. Яким чином проводиться розрахунок статично невизначених конструкцій?
9. Чим відрізняється розрахунок по напрузі, що допускається від розрахунку по допускаються навантажень?
10. Як знаходяться координати центра ваги перерізу?
11. Які осі називаються головними?
12. Для яких перетинів можна без обчислень встановити положення головних осей?
13. Чому дорівнює відцентровий момент інерції щодо головних осей?
14. Які осі називаються центральними?
15. Щодо яких центральних осей осьові моменти інерції приймають найбільше та найменше значення?
6. ГОСТ 8509-86. Сталь прокатна кутова рівнополочні. Сортамент. - М. Изд-во стандартів, 1987. - 6 с.
до виконання контрольної роботи
Склали: Гільман Олександр Абрамович
ПОПОВА Наталія Євгенівна
Підписано до друку Формат 60х84 1/16
Бум. офсет. Ум. печ. л. Уч.-изд. л
Тираж 100 прим. замовлення Безкоштовно
Саратовський державний технічний університет
Саратов, Політехнічна вул. 77
Надруковано в РІЦ СГТУ. Саратов, Політехнічна вул. 77