Об'єкт вивчення класичної. теорії гомотопий. Обчислення С. р.р. свого часу (особливо в 50-х рр.) Розглядалося як одна з центральних завдань топології. Топологи сподівалися, що ці групи вдасться повністю обчислити і що з їх допомогою можна буде вирішувати інші класифікаційні гомотопіч. завдання. Ці надії в основному не справдилися: С. р.р. вдалося обчислити лише частково, і з розвитком теорії узагальнених когомологій завдання їх обчислення стала менш актуальною. Все ж накопичена інформація про ці групи не пропала даром, вона знайшла застосування там, де їх не чекали, зокрема в диференціальної топології (класифікації диференціальних структур на сферах і багатовимірних вузлів). I. Загальна теорія. 1) Якщо in = 1, то 2) (теорема Брауера -Xопфа); цей ізоморфізм відносить елементу групи ступінь представляє його відображення 3) Групи мають ранг 1; інші групи з кінцеві. Гомоморфізм надбудови відносить елементу групи пропонованого сфероїдом клас сфероида визначається формулою де 4) гомоморфізм Е є изоморфизмом при i> 2n-1 і епіморфізм при Таким чином, при кожному kгруппи можуть бути складені в послідовність в (k + 2) -му члені к-рій настає стабілізація; група зв. k-йстабільной С. р.р. і позначається При цьому при k<0 и Как и в гомотопических группах любого топологич. пространства, в С. г. г. определено умножение Уайтхеда: К обычным его свойствам (дистрибутивность, косая коммутативность, тождество Якоби) добавляется 5) Умножение Уайтхеда позволяет сделать следующее уточнение к 4): 6) ядро эпиморфизма порождается классом [in, in],где in — каноническая образующая группы (представляемая тождественным cфероидом). С умножением Уайтхеда тесно связан Хопфа инвариант определенный для Так, элемент группы представляемый отображением Хопфа действующим по формуле h(z1, z2)=z1. z2 (в к-рой S3 интерпретируется как единичная сфера пространства а S2 — как имеет инвариант Хопфа, равный 1. 7) Отображение есть изоморфизм. 8) Следствием 8) является бесконечность групп уже утверждавшаяся в 3). 9) При отсутствуют элементы с нечетным инвариантом Хопфа (как было известно задолго до доказательства этой теоремы, ее утверждение равносильно следующей гипотезе Фробениуса: отсутствует билинейное умножение с однозначным делением на ненулевые элементы). Специфическим для сфер является композиционное умножение определяемое при помощи компонирования представляющих отображений. 10) Для любых имеет место: лЛевый закон дистрибутивности
Джерело: Математична енциклопедія на Gufo.me
Схожі статті