Термін класична фізика відноситься до тієї фізики, яка існувала до появи квантової механіки. Класична фізика включає ньютонівські закони руху частинок, теорію електромагнітного поля Максвелла - Фарадея і загальну теорію відносності Ейнштейна. Але це щось більше, ніж просто конкретні теорії конкретних явищ; це ряд принципів і правил - базова логіка, що підкоряє собі всі явища, для яких не така істотна квантова невизначеність
Завдання класичної механіки в прогнозі майбутнього полягає. Великий фізик вісімнадцятого століття П'єр - Симон Лаплас висловив це в знаменитій цитаті:
"Стан всесвіту в даний момент можна розглядати як наслідок її минулого і як причину її майбутнього. Мисляча істота, яке в певний момент знало б все рушійні сили природи і всі положення всіх об'єктів, з яких складається світ, могло б - якби його розум був досить великий для того, щоб проаналізувати всі ці дані, - висловити одним рівнянням рух і найбільших тіл у всесвіті, і найдрібніших атомів; для такого інтелекту не залишилося б жодної невизначеності і майбутнє відкрилося б перед його поглядом точ але так само, як і минуле. У класичній фізиці, якщо ви знаєте все про стан системи в певний момент часу, а також знаєте рівняння, що визначають зміни, що відбуваються в системі, ви можете передбачити майбутнє. Саме це ми маємо на увазі, кажучи , що класичні закони фізики детерміністичного.
Прості динамічні системи і простір станів.
Сукупність об'єктів (часток, полів, хвиль - чого завгодно) називається системою. Систему, яка була весь всесвіт або настільки ізольовану від усього іншого, що вона веде себе так, ніби нічого більше не існує, називають замкнутою.
Щоб відчути, що таке детерміністичного і оборотність, ми почнемо з дуже простого прикладу замкнутих систем. Вони значно простіше тих речей, які ми зазвичай вивчаємо у фізиці, але вони підпорядковуються правилам, які є гранично спрощеним варіантом класичної механіки. Уявіть собі абстрактний об'єкт, який має лише один стан. Можна, наприклад, уявити монету, приклеєну до столу, яка завжди показує свій аверс. На жаргоні фізиків сукупність всіх станів, займаних системою, називається простором станів. Це не звичайне простір; це математичне безліч, елементи якого відповідають можливим станам системи. У нашому випадку простір станів містить лише одну точку, а саме аверс (або просто а), оскільки система має лише одне стан. Передбачити майбутнє такої системи надзвичайно просто: з нею ніколи нічого не відбувається, і результатом будь-якого спостереження завжди буде а.
Наступна по простоті система має простір станів, що містить дві точки; в цьому випадку у нас є один абстрактний об'єкт і два можливих стану. Можете уявляти собі монету, яка випадає або аверсом, або реверсом (а чи Р) - рис. 1. в класичній механіці вважається, що системи змінюються плавно, без стрибків або перерв. Така поведінка називають безперервним. Очевидно, що зі стану аверс не можна безперервно перейти в стан реверс. Рух в даному випадку неминуче відбувається дискретними стрибками. Так що давайте припустимо, що час теж йде дискретними кроками, які нумеруються цілими числами. Світ з такою дискретної еволюцією можна стробоскопічним назвати.
Система, яка з плином часу змінюється, називається динамічною. Динамічна система - це не тільки простір станів. Вона також включає закон руху, або динамічний закон. Це правило, яке говорить, який стан стане наступним після поточного.
Один з найпростіших динамічних законів полягає в тому, що стан в наступний момент буде таким же, як зараз. Тоді в нашому прикладі можливі дві історії: а. і Р. інший динамічний закон диктує, що яким би не було поточний стан, наступне за ним буде протилежним. Можна намалювати діаграми, що ілюструють ці два закони. На рис. 2 показаний перший закон, коли а завжди переходить в а і стрілка від Р йде до Р. і знову майбутнє дуже легко передбачити: якщо почати з а, система залишиться в стані а; якщо почати з Р, система залишиться в Р.
Діаграма для другого можливого закону на рис представлена. 3, де стрілки йдуть від а до Р і від Р до а. майбутнє як і раніше можна передбачати. Наприклад, якщо почати з а, то історія буде: а Р а Р а Р а Р а Р. якщо ж почати з Р, вийде історія: Р а Р а Р а Р а ....
Можна також записати ці динамічні закони у вигляді формул. Змінні, що описують систему, називаються ступенями свободи. У нашій монети одна ступінь свободи, яку можна позначити грецькою буквою сигма. Сигма тільки два можливих значення має? = 1 і? = - 1 відповідно для а і Р. нам також потрібен символ для позначення часу. Коли розглядається безперервне протягом часу, його прийнято позначати t. але у нас еволюція дискретна, і ми будемо використовувати n. стан в момент n позначається виразом (n), тобто значення? У момент n. параметр n послідовно приймає значення всіх натуральних чисел, починаючи з 1.
Запишемо рівняння еволюції для двох розглянутих законів. Перший з них говорить, що ніяких змін не відбувається. Його рівняння - (n 1) = (n. Іншими словами, яким би не було значення? На n - м кроці, то ж значення буде і на наступному кроці.
Друге рівняння еволюції має вигляд (n 1) = - (n), що означає зміну стану на кожному кроці.
Оскільки в обох випадках майбутню поведінку повністю детерміновано початковим станом, такі закони називаються детерминистическими. Всі фундаментальні закони класичної механіки - детерминистические.
Давайте заради інтересу узагальнимо систему, збільшивши число станів. Замість монети можна використовувати шестигранную гральну кістку, що має шість віз - мужніх станів (рис. 4.
Тепер число можливих законів значно зростає і їх стає нелегко описати словами і навіть формулами. Найпростіше розглянути діаграму на кшталт наведеної на рис. 5. з неї видно, що номер стану, заданий в момент n, збільшується на одиницю в наступний момент n 1. це працює, поки ми не дійдемо до стану 6, де діаграма наказує повернутися в стан 1 і повторити процес. Така нескінченно повторюється схема називається циклом. Наприклад, якщо почати з стану 3, то історія матиме вигляд: 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2. назвемо цю схему динамічним законом 1.
На рис. 6 показаний інший закон - динамічний закон 2. він виглядає дещо більш заплутаним, але логічно він ідентичний попередньому: в обох випадках система нескінченно обходить в циклі всі шість можливих станів. Увага! Тільки в тому випадку, якщо перейменувати стану, то динамічний закон 2 стане точно таким же, як динамічний закон 1.
Але не всі закони логічно еквівалентні. Розглянемо, наприклад, закон, показаний на рис. 7. цей динамічний закон 3 має два цикли. Таким чином, якщо почати рухатися в одному з них, то неможливо потрапити в інший. Проте цей закон детерміністічен абсолютно. З якого б стану ви не почали, майбутнє залишається зумовленим. Наприклад, якщо почати з стану 2, вийде історія: 2, 6, 1, 2, 6, 1, ... і стан 5 ніколи не буде досягнуто. У разі якщо ж почати з стану 5, то історія матиме вигляд: 5, 3, 4, 5, 3, 4, ... і недосяжним виявиться стан 6.
На рис. 8 показаний динамічний закон 4 з трьома циклами.
Знадобилося б багато часу, щоб намалювати всі можливі динамічні закони в системі з шістьма станами.
Правила, які не дозволені: мінус перший закон.
Згідно з правилами класичної фізики допустимі не всі закони. Для динамічного закону недостатньо бути детерміністичного; він ще повинен бути оборотним.
Сенс оборотності (в контексті фізики) можна описати кількома способами. Найпростіший з них - сказати, що можна розгорнути всі стрілки і вийшов в результаті закон залишиться детерміністичного. Інший спосіб - сказати, що закон детерміністічен як в минулому, так і в майбутньому. Згадаймо зауваження Лапласа про те, що ". Для такого інтелекту не залишилося б жодної невизначеності, і майбутнє відкрилося б перед його поглядом точно так же, як і минуле". Чи можна придумати закон, який буде детерміністичного в майбутньому, але не в минулому? Іншими словами, чи можна привести приклад незворотного закону? Так можна. Розглянемо рис. 9.
Закон, представлений на рис. 9, для будь-якого стану говорить, куди треба перейти далі. У тому випадку, якщо ви перебуваєте в стані 1, то переходите в 2. якщо в 2, то в 3. якщо в 3, то в 2. немає ніякої неоднозначності щодо майбутнього. Інша річ - минуле. Припустимо, ви перебуваєте в стані 2. де ви були в попередній момент? Ви могли прийти зі стану 3 або 1. діаграма про це нічого не говорить. Гірше того, якщо розглянути зворотний закон, то виявиться, що немає стану, яке вело б до 1; стан 1 не має минулого. Закон, який ви бачите на рис. 9, є незворотнім. Він дає приклад ситуації, забороненої принципами класичної фізики.
Зверніть увагу, що якщо розгорнути стрілки на рис. 9, то вийде закон, представлений рис. 10, який не може однозначно сказати, як рухатися в майбутньому.
Є дуже просте правило, яке говорить, коли діаграма представляє детерміністичного і оборотний закон. У разі якщо у кожного стану є рівно одна стрілка, що веде до нього, і рівно одна стрілка, що виходить з нього, то це допустимий детерміністичного оборотний закон. Сформулюємо це у вигляді слогана: повинна бути тільки одна стрілка, яка вказує, звідки ви прийшли, і тільки одна стрілка, яка вказує, куди вам слід піти.
Правило, згідно з яким динамічні закони повинні бути детерміністичного та оборотними, настільки важливо для класичної фізики, що в навчальних курсах про нього деколи просто забувають згадати. У нього навіть немає назви. Можна назвати його першим законом, але, на жаль, у нас вже є два перших закону - перший закон Ньютона і перший початок термодинаміки. Тому, щоб позначити пріоритет, ми змушені будемо відступити і позначити цей принцип як мінус перший закон, і це, безсумнівно, самий фундаментальний з усіх фізичних законів - закон збереження інформації. Збереження інформації - це по суті правило, згідно з яким у будь-якого стану є одна входить стрілка і одна виходить. Тим самим гарантується, що ви ніколи не зіб'єтеся з шляху, звідки б ви не стартували.
Динамічні системи з нескінченним числом станів.
До сих пір у всіх наших прикладах простір станів мало кінцеве число елементів. Але немає причин, що заважають нам розглянути динамічну систему з нескінченним числом станів. Уявіть собі, наприклад, лінію з нескінченним числом окремих точок уздовж неї, подібно до залізничної лінії з нескінченної послідовністю станцій в обох напрямках. Припустимо тепер, що якийсь маркер може відповідно до деякого правилом стрибати від однієї точки до іншої. Для опису такої системи ми помітимо всі крапки уздовж лінії цілими числами подібно до того, як нумерували стану в розглянутих раніше прикладах. Оскільки ми вже використовували букву n для дискретних кроків у часі, давайте використовувати заголовну N для відстеження маршруту. Історія маркера буде являти собою функцію N (n), яка повертає місце N для кожного моменту часу n. короткий ділянку цього простору станів зображений на рис. 11. дуже простий динамічний закон для такої системи показаний на рис. 12. Він складається в зсуві маркера на одну позицію в позитивному напрямку з кожним кроком по часу.
Це правило допустимо, оскільки у кожного стану тільки одна входить стрілка і одна виходить.
Таке правило неважко записати в формі рівняння:
(N 1) N = N (n) 1. (1).
А ось інші можливе правило:
(N 1) N = N (n) 2, (2).
За формулою (1), де б не почався рух, ви врешті-решт доберетеся до будь-якої точки, рухаючись або в майбутнє, або в минуле. Можна сказати, що тут має місце один нескінченний цикл. А ось за формулою (2), почавши з непарного значення N, ви ніколи не потрапите на парне, і навпаки. Тому ми говоримо, що тут наявні два нескінченних циклу.
Можна також додати до системи якісно інші стани, створивши з їх участю додаткові цикли, як показано на рис. 13. якщо почати з числа, то ми як і раніше будемо рухатися по верхній лінії, як і на рис. 12. але якщо почати з букви A або B, то ми закрутили в циклі між ними. Так що можлива змішана ситуація, коли в одних випадках ми обходимо лише деякі стану, а в інших - рухаємося в нескінченність.
Цикли і закони збереження.
Коли простір станів розділене на кілька циклів, система залишається в тому циклі, в якому почала рух. Кожен цикл має свій власний динамічний закон, але всі вони - частина одного простору станів, оскільки описують одну динамічну систему. Розглянемо систему з трьома циклами. Кожне з станів 1 і 2 являє собою окремий цикл, а стану 3 і 4 належать третій (рис. 14.
Всякий раз, коли динамічний закон ділить простір станів на подібні окремі цикли, система "запам'ятовує", з якого стану ми стартували. Подібна пам'ять називається законом збереження; він говорить нам, що щось залишається незмінним з плином часу. Щоб надати закону збереження кількісну форму, пріпішем кожному циклу чисельне значення, що позначається Q. в прикладі на рис. 15 три цикли позначені як Q = 1, Q = - 1 і Q = 0. яким би не було значення Q, воно завжди залишається незмінним, оскільки динамічний закон не дозволяє перестрибувати з одного циклу на інший. Простіше кажучи, значення Q зберігається.
Лаплас був надмірно оптимістичний щодо передбачуваності світу навіть в рамках класичної фізики. Він, звичайно, погодився б з тим, що для передбачення майбутнього буде потрібно ідеальне знання керують світом динамічних законів і жахлива обчислювальна потужність, яку він характеризував як розум, який "Досить Широкий для Того, Щоб Проаналізувати всі ці Дані". Але є ще один момент, який він, можливо, недооцінив: здатність знати початкові умови з майже ідеальною точністю. Уявіть собі гральну кістку з мільйоном граней, які позначені символами, схожими на звичайні цифри, але злегка розрізняються, так що виходить мільйон помітних міток. Таким чином, якщо знати динамічний закон і зуміти розпізнати початкову мітку, то можна передбачити майбутню історію кістки. Але якщо титанічна лапласовскій інтелект страждає невеликими проблемами із зором, через що не розрізняє дуже схожих імен, то його предсказательная здатність буде обмеженою.
У реальному світі все йде ще гірше; простір станів не просто неосяжне по числу точок, воно безперервно і нескінченно. Іншими словами, воно розмічено сукупністю дійсних чисел, на зразок тих, що задають координати частинок. Безліч дійсних чисел настільки щільно, що будь-яка з них має нескінченне число як завгодно близьких сусідів. Здатність розрізняти сусідні значення цих чисел - це "Роздільна здатність", що характеризує будь-який експеримент, і для будь-якого реального спостерігача вона обмежена. У більшості випадків крихітні відмінності в початкових умовах (стартовому стані) призводять до значних розбіжностей в результатах. Це явище називають хаосом. Лише в тому випадку, якщо система хаотична (а таке більшість систем), то як би велика не була роздільна здатність, час, протягом якого система буде передбачуваною, обмежена. Ідеальна передбачуваність недосяжна просто тому, що ми обмежені в своїй роздільної здатності. Л. Сасскінд, Д. Грабовський. Теоретичний мінімум.