Приватним, але вкрай важливим для нас видом сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння тіл до Землі. Цю силу називають силою тяжіння. Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, вона виражається формулою
де m - маса тіла, М - маса Землі, R - радіус Землі, h - висота тіла над поверхнею Землі. Сила тяжіння спрямована вертикально вниз, до центру Землі.
Більш точно, крім цієї сили, в системі відліку, пов'язаної з Землею, на тіло діє відцентрова сила інерції. яка виникає через добового обертання Землі, і дорівнює. де m - маса тіла; r - відстань між тілом і земною віссю. Якщо висота тіла над поверхнею Землі мала в порівнянні з її радіусом, то. де ^ R - радіус Землі, φ - географічна широта, на якій знаходиться тіло (рис. 1). З урахуванням цього .
Силою тяжкості називається сила, що діє на будь-який знаходиться поблизу земної поверхні тіло.
Вона визначається як геометрична сума діючої на тіло сили гравітаційного тяжіння до Землі і відцентрової сили інерції. враховує ефект добового обертання Землі навколо власної осі, тобто . Напрямок сили тяжіння є напрямом вертикалі в даному пункті земної поверхні.
АЛЕ величина відцентрової сили інерції дуже мала в порівнянні з силою тяжіння Землі (їх ставлення становить приблизно 3 ∙ 10 -3), то зазвичай силою нехтують. Тоді.
^ Прискорення вільного падіння
Сила тяжіння повідомляє тілу прискорення, зване прискоренням вільного падіння. Згідно з другим законом Ньютона
.
З урахуванням виразу (1) для модуля прискорення вільного падіння матимемо
На поверхні Землі (h = 0) модуль прискорення вільного падіння дорівнює
,
а сила тяжіння дорівнює
.
Модуль прискорення вільного падіння, що входить у формули, дорівнює приблизно 9,8 м / с 2.
З формули (2) видно, що прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла. Воно зменшується при підйомі тіла над поверхнею Землі: прискорення вільного падіння обернено пропорційно квадрату відстані тіла від центру Землі.
Однак якщо висота h тіла над поверхнею Землі не перевищує 100 км, то при розрахунках, що допускають похибку ≈ 1,5%, цією висотою можна знехтувати в порівнянні з радіусом Землі (R = 6370 км). Прискорення вільного падіння на висотах до 100 км можна вважати постійним і рівним 9,8 м / с 2.
І все ж у поверхні Землі прискорення вільного падіння не скрізь однаково. Воно залежить від географічної широти: більше на полюсах Землі, ніж на екваторі. Справа в тому, що земну кулю кілька сплюснут біля полюсів. Екваторіальний радіус Землі більше полярного на 21 км.
Інший, більш істотною причиною залежності прискорення вільного падіння від географічної широти є обертання Землі. Другий закон Ньютона справедливий в інерціальній системі відліку. Такою системою є, наприклад, геліоцентрична система. Систему ж відліку, пов'язану із Землею, строго кажучи, не можна вважати інерціальної. Земля обертається навколо своєї осі і рухається по замкнутій орбіті навколо Сонця.
Обертання Землі і декомпозиція її біля полюсів призводить до того, що прискорення вільного падіння щодо геоцентричної системи відліку на різних широтах по-різному: на полюсах gпол ≈ 9,83 м / с 2. на екваторі gекв ≈ 9,78 м / с 2. на широті 45 ° g ≈ 9,81 м / с 2. Втім, в наших розрахунках ми будемо вважати прискорення вільного падіння приблизно рівним 9,8 м / с 2.
Через обертання Землі навколо своєї осі прискорення вільного падіння у всіх місцях, крім екватора і полюсів, не спрямоване точно до центру Землі.
Крім того, прискорення вільного падіння залежить від щільності порід, що залягають в надрах Землі. У районах, де залягають породи, щільність яких більше середньої щільності Землі (наприклад, залізна руда), g більше. А там, де є поклади нафти, g менше. Цим користуються геологи при пошуку корисних копалин.
Вага тіла - це сила, з якою тіло, внаслідок його тяжіння до Землі, діє на опору або підвіс.
Розглянемо, наприклад, тіло, підвішене до пружини, інший кінець якої закріплений (рис. 2). На тіло діє сила тяжіння спрямована вниз. Воно тому починає падати, захоплюючи за собою нижній кінець пружини. Пружина виявиться через це деформованої, і з'явиться сила пружності пружини. Вона прикладена до верхнього краю тіла і спрямована вгору. Верхній край тіла буде тому «відставати» в своєму падінні від інших його частин, до яких сила пружності пружини не прикладена. Внаслідок цього і тіло деформується. Виникає ще одна сила пружності - сила пружності деформованого тіла. Вона прикладена до пружини і спрямована вниз. Ось ця сила і є вага тіла.
За третім законом Ньютона обидві ці сили пружності рівні по модулю і спрямовані в протилежні сторони. Після кількох коливань тіло на пружині виявляється в спокої. Це означає, що сила тяжіння по модулю дорівнює силі пружності Fупр пружини. Але цієї ж силою дорівнює і вага тіла.
Таким чином, в нашому прикладі вага тіла, який ми позначимо літерою. по модулю дорівнює силі тяжіння:
.
^ Другий приклад. Нехай тіло А знаходиться на горизонтальній опорі В (рис. 3). На тіло А діє сила тяжіння і сила реакції опори. Але якщо опора діє на тіло з силою то і тіло діє на опору з силою. яка відповідно до третього закону Ньютона дорівнює по модулю і протилежна за напрямком. . Сила і є вага тіла.
Якщо тіло і опора нерухомі або рухаються рівномірно і прямолінійно, т. Е. Без прискорення, то, згідно з другим законом Ньютона,
.
.
Значить, якщо прискорення а = 0, то вага тіла дорівнює силі тяжіння.
Але це не означає, що вага тіла і сила тяжіння, прикладена до нього, один і той же. ^ Сила тяжіння прикладена до тіла, а вага прикладений до опори або підвісу. Природа сили тяжіння і ваги теж різна. Якщо сила тяжіння є результатом взаємодії тіла і Землі (сила тяжіння), то вага з'являється в результаті зовсім іншого взаємодії: взаємодії тіла А і опори В. Опора В і тіло А при цьому деформуються, що призводить до появи сил пружності. Таким чином, вага тіла (як і сила реакції опори) є окремим видом сили пружності.
Вага має особливості, істотно відрізняють його від сили тяжіння.
По-перше, вага визначається всією сукупністю діючих на тіло сил, а не тільки силою тяжіння (так, вага тіла в рідині або повітрі менше, ніж у вакуумі, через появу виштовхує (архимедовой) сили). По-друге, вага тіла, істотно залежить від прискорення, з яким рухається опора (підвіс).
^ Вага тіла при русі опори або підвісу з прискоренням
Чи можна збільшити або зменшити вагу тіла, не змінюючи самого тіла? Виявляється, так. Нехай тіло знаходиться в кабіні ліфта, що рухається з прискоренням (рис. 4 а, б).
Згідно з другим законом Ньютона
де ^ N - сила реакції опори (підлоги ліфта), m - маса тіла.
За третім законом Ньютона вага тіла. Тому, з огляду на (3), отримаємо
.
Направимо координатну вісь Y системи відліку, пов'язаної з Землею, вертикально вниз. Тоді проекція ваги тіла на цю вісь буде дорівнює
.
Так як вектори і сонаправлени з віссю координат Y. то Рy = Р і gy = g. Якщо прискорення направлено вниз (див. Рис. 4, а), то ay = а. і рівність приймає наступний вигляд:
.
З формули випливає, що лише при а = 0 вагу тіла дорівнює силі тяжіння. При а ≠ 0 вагу тіла відрізняється від сили тяжіння. При русі ліфта з прискоренням, спрямованим вниз (наприклад, на початку спуску ліфта або в процесі його зупинки при русі вгору) і по модулю меншим прискорення вільного падіння, вага тіла менше сили тяжіння. Отже, в цьому випадку вага тіла менше ваги того ж тіла, якщо воно знаходиться на спочиває або рівномірно рухається опорі (підвісі). З цієї ж причини вага тіла на екваторі менше, ніж на полюсах Землі, так як внаслідок добового обертання Землі тіло на екваторі рухається з доцентровим прискоренням.
Розглянемо тепер, що станеться, якщо тіло рухається з прискоренням, спрямованим вертикально вгору (див. Рис. 4, б). В даному випадку отримуємо
.
Вага тіла в ліфті, що рухається з прискоренням, спрямованим вертикально вгору, більше ваги покоїться тіла. Збільшення ваги тіла, викликане прискореним рухом опори (або підвісу), називається перевантаженням. Перевантаження можна оцінити, знайшовши відношення ваги прискорено рухомого тіла до ваги покоїться тіла:
.
Тренований людина здатна на короткий час витримувати приблизно шестикратную перевантаження. Значить, прискорення космічного корабля, згідно з отриманою формулою, не повинно перевищувати п'ятикратного значення прискорення вільного падіння.
Візьмемо в руки пружину з підвішеним до неї вантажем, а краще пружинні ваги. За шкалою пружинних ваг можна відрахувати вага тіла. Якщо рука, що тримає ваги, покоїться відносно Землі, ваги покажуть, що вага тіла по модулю дорівнює силі тяжіння mg. Випустимо ваги з рук, вони разом з вантажем почнуть вільно падати. При цьому стрілка ваг встановлюється на нулі, показуючи, що вага тіла став рівним нулю. І це зрозуміло. При вільному падінні і ваги, і вантаж рухаються з однаковим прискоренням, рівним g. Нижній кінець пружини не захоплюється вантажем, а сам слід за ним, і пружина не деформується. Тому немає сили пружності, яка діяла б на вантаж. Значить, і вантаж не деформується і не діє на пружину. Вага зник! Вантаж, як кажуть, став невагомим.
Невагомість пояснюється тим, що сила всесвітнього тяжіння, а значить, і сила тяжіння повідомляють всім тілам (в нашому випадку - вантажу і пружині) однакове прискорення g. Тому будь-яке тіло, на яке діє тільки сила тяжіння або взагалі сила всесвітнього тяжіння, знаходиться в стані невагомості. В таких умовах перебувають вільно падаючі тіла, наприклад тіла в космічному кораблі. Адже і космічний корабель, і тіла в ньому теж знаходяться в стані тривалого вільного падіння. Втім, в стані невагомості, хоча і недовго, знаходиться кожен з вас, стрибаючи зі стільця на підлогу або підстрибуючи вгору.
Це ж можна довести і математично. При вільному падінні
тіла і.