ОСНОВИ ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ
ВИМІРЮВАННЯ І ПОХИБКИ ИЗМЕРЕНИЙ
У кожній лабораторній роботі за курсом "Фізика" студент вимірює одну або кілька величин. Вимірювання називається прямим, якщо вимірювана величина безпосередньо порівнюється з еталоном. Таке порівняння, як правило, відбувається за допомогою вимірювального приладу. Наприклад, довжина тіла вимірюється за допомогою мікрометра або штангенциркуля, сила струму вимірюється амперметром і т.д. Результат непрямого вимірювання є відомою функцією величин, одержуваних за допомогою прямих вимірювань. У процесі прямого виміру отримують ряд спостережень х1. х2. .... хn вимірюваної величини х. Результати окремих спостережень містять похибки вимірювань і потребують додаткової обробки. Види похибок: випадкові, систематичні, промахи.
При наявності випадкових похибок результат окремого спостереження хk вимірюваної величини х є випадковою величиною. У цьому випадку результати спостережень х1. х2. .... хn однієї і тієї ж величини х різні. Як результат вимірювання приймається середнє арифметичне значення результатів спостережень:
Межа результату вимірювання при n® ¥ називається математичним очікуванням m:
Випадкову величину х, що є результатом окремого спостереження, можна задати за допомогою функції розподілу f (х) (функції щільності ймовірності):
де dP - ймовірність попадання випадкової величини в інтервал
(Х, х + dx) шириною dx.
Якщо випадкова величина залежить від великої кількості неконтрольованих змінюються причин, то вона підкоряється нормальному розподілу або розподілу Гаусса. Функція розподілу Гаусса для випадкової величини х з математичним очікуванням m описується формулою:
де - дисперсія розподілу. Величина називається стандартним або середньоквадратичним відхиленням. Графік функції розподілу Гаусса показаний на рис.1.
З урахуванням формули (1.3) ймовірність Р попадання результату спостереження х в інтервал (х1. Х2) дорівнює
Розглянемо інтервал, в центрі якого знаходиться математичне очікування m, а полушіріна дорівнює
де - деяке число. Імовірність Р спостереження випадкової величини х, що підкоряється нормальному розподілу, в такому інтервалі визначається формулою:
Обчислення інтеграла у формулі (1.6) показує, що при
kP = 1,0 ймовірність Р = 0,68, тобто 68% результатів спостережень лежать всередині інтервалу (). Відповідно, при kP = 2,0 отримаємо Р = 0,95, а при kP = 3,0 ймовірність Р = 0,997.
Нехай наявність випадкових похибок призводить до того, що результат спостереження х вимірюваної величини підпорядковується нормальному розподілу. Параметри m і s цього розподілу експериментатор не знає. В процесі вимірювання отримують n результатів спостережень: х1. х2. .... хn. тобто отримують деяку вибірку значень х з генеральної сукупності допустимих значень. Визначаючи результат вимірювання за формулою (1.1), знаходять вибіркову оцінку величини m. Вибіркову оцінку дисперсії нормального розподілу результатів спостережень отримують за формулою
де S (х) - вибіркова оцінка стандартного відхилення результату спостереження; n - число спостережень.
Якщо результат окремого спостереження х є випадковою величиною, що підкоряється нормальному розподілу з дисперсією D (х), то результат вимірювання. що визначається за формулою (1.1), також підпорядковується нормальному розподілу з дисперсією. Відповідно, вибіркова оцінка стандартного відхилення результату вимірювання дорівнює
Теоретично показано, що для кожної ймовірності Р (заходи довіри) можна побудувати такий довірчий інтервал (), що математичне очікування m випадкової величини х виявиться всередині цього інтервалу з ймовірністю Р. Полуширина такого довірчого інтервалу визначається формулою:
де S () знаходимо за формулою (1.8), а - коефіцієнт Стьюдента, величина якого залежить від ймовірності Р і числа ступенів свободи n (див. таблицю Додатка). Число ступенів свободи n пов'язано з числом спостережень n формулою:. Можна показати, що у формулі (1.5) коефіцієнт
При наявності тільки випадкових похибок запис результату вимірювання:.
Величину деяких систематичних похибок можна визначити теоретично або експериментально. Такі оцінки називаються поправками. Результати спостережень виправляють на величину поправок.
Але існують такі систематичні похибки (наприклад, похибка вимірювального приладу, похибка округлення і ін.), Які не можна знайти у вигляді поправки.
Похибка вимірювального приладу задається у вигляді граничної або абсолютної похибки d або відносної похибки g (класу точності приладу). Клас точності g приладу - це виражене у відсотках відношення граничної похибки приладу d до максимального значення хmax вимірюваної величини:
.
Зокрема, для приладів існують вісім класів точності: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4,0. Звідси граничне значення абсолютної похибки:
.
Отже, похибка приладу дається у вигляді граничного значення d.
У разі нормального розподілу ймовірність спостереження величини х, для якої> 3s, дорівнює 0,3%, тобто відхилення 3s від середнього можна вважати значенням 3s = d.
Тоді, враховуючи формули (1.5), (1.10) і (1.11), ширину довірчого інтервалу систематичної похибки приладу можна записати в вигляді:
При вимірі відбувається похибка округлення. Якщо ціна ділення шкали приладу дорівнює h, то гранична помилка округлення дорівнює h / 2. Можна показати, що полушіріна довірчого інтервалу, пов'язаного з похибкою округлення, визначається формулою
де Р - довірча ймовірність.
У деяких випадках помилка вимірювання пов'язана з суб'єктивною реакцією експериментатора. Наприклад, при вимірюванні проміжку часу ручним секундоміром виникає помилка, викликана запізненням реакції експериментатора. Можна показати [5], що стандартне відхилення суб'єктивної реакції с.
Відповідно до формули (1.5) полушіріна довірчого інтервалу дорівнює
Промахи виникають в результаті грубих помилок експериментатора або збоїв вимірювального приладу. У цих випадках, як правило, результат спостереження сильно відрізняється від інших результатів, що використовується для виявлення промахів. Найпростіший метод називається "правилом 3s", або "правилом 3S ()".
Якщо результат окремого спостереження є випадковою величиною, що задовольняє нормальному розподілу, то ймовірність появи результату спостереження, що відрізняється від математичного очікування m на величину, що перевищує 3s, дорівнює P = 0,0027. Тому більш ймовірно, що поява такого результату спостереження є промахом. Як величин m і s приймаються їх вибіркові оцінки <х> і S (<х>), Що визначаються формулами (1.1) і (1.7). В літературі [4,7] наведені й інші методи виявлення промахів. Виявлені промахи не враховуються при отриманні результату вимірювання.
При обробці результатів прямого виміру рекомендується наступна послідовність дій:
1. Отримані результати спостережень прямого виміру виправляють на величину поправок (оцінок деяких систематичних похибок). Виявляються і відкидаються промахи.
2. За формулою (1.1) отримують результат вимірювання <х>.
3. Якщо результати окремих спостережень різні, то за формулою (1.9) отримують полуширину Dхсл довірчого інтервалу випадкових похибок. Попередньо за формулою (1.8) визначають вибіркову оцінку S (<х>) Стандартного відхилення результату вимірювання, а по таблиці Додатка знаходять коефіцієнт Стьюдента по довірчій ймовірності Р і числа ступенів свободи (n - число спостережень).
4. За формулами (1.12), (1.13), (1.14) визначають полуширину довірчих інтервалів неврахованих систематичних похибок. Результуючу полуширину довірчого інтервалу D х обчислюють за формулою:
Якщо у формулі (1.15) порівняння мінімальної величини Dхмін з максимальною величиною Dхмакс показує Dхмін <0,3 Dхмакс. то меньшей величиной Dхмин можно пренебречь.
5. Результат прямого виміру записують у вигляді довірчого інтервалу:
Напівширину довірчого інтервалу D х іноді називають абсолютною похибкою, а - відносною похибкою вимірюваної величини х.
При непрямому вимірі шукана величина r є відомою функцією
змінних x, y, ..., z, одержуваних експериментально за допомогою прямих вимірювань. Але прямі вимірювання не дозволяють точно визначати математичні очікування вимірюваних величин. З певною ймовірністю Р математичні очікування належать довірчим інтервалам:
Використовуючи в якості змінної х результат вимірювання
,
якщо D х - мала величина в порівнянні з х.
У разі декількох незалежних змінних х, у, ..., z результат обчислення r за формулою (1.17) приводить до максимальної помилку
яку можна вважати напівшириною довірчого інтервалу величини r. Формули (1.17) і (1.18) визначають результат непрямого вимірювання: