Дмитро продає на зовсім конкурентному ринку ідеальні гаражика. Функція його граничних витрат має вигляд: $ MC = \ sqrt $, де $ k> 0 $. Дмитро - дуже особливий продавець гаражика. Він прагне донести їх красу до всього світу, і тому продає все намет, які він може зробити. Ще одна дивина Дмитра полягає в тому, що якщо він бачить, що для даного гаражика $ MC \ le MR $, то він продає його щасливому покупцеві за ціною $ P_ = MС $ і отримує задоволення в розмірі $ U = P_ $, але якщо для даного гаражика $ MC> MR $, то наш Дмитро починає вважати, що цей гаражик нікому не потрібен, і сумує, отримуючи задоволення $ U = - (MC-MR) $.
а) Чи не проводячи ніяких обчислень, визначте, при якій ринковій ціні задоволення Дмитра буде позитивним.
b *) Дмитро одружився. Сімейне життя помітно попсувала Дмитра, і він відмовився від своїх ідей з пропаганди краси через ідеальні гаражика. Тепер він, як і тисячі інших Дмитрієв, максимізує прибуток і не отримує задоволення від творчості. Побудуйте криву пропозиції Дмитра. (В цьому пункті можна проводити обчислення)
Рішення і відповідь
а) Графік функції $ MC (Q) $ - півколо з центром $ (k; 0) $ і радіусом $ k $. З міркувань симетрії розглянемо тільки ліву частину півкола і переконаємося, що при $ P = \ frac> $ чверть кола складена квадратом і двома рівними площами $ \ Rightarrow $ корисність продавця, завжди вибирає точку $ Q = 2k $, нульова. При бо льшіх $ P $ корисність $ U> 0 $.
б) (в даному випадку $ P $ знову збігається з $ MR $ при будь-якому $ Q $)
Функція пропозиції (при відомому обмеження $ Q \ leqslant 2k $) має вигляд $$ Q ^ * (P) = \ begink- \ sqrt, \ text
Визначимо умови, якими $ p $ визначається однозначно.
$ \ Texttt $
Площа між $ MC $ і $ P $ (малий сегмент кола) дорівнює площі криволінійного трикутника подалі. $ S = 2kp- \ frac $, де $ S $ - така площа.
Яким-небудь з наступних способів вдаємо, що шукаємо площа:
1. $$ S = \ int _> ^ \ left (\ p- \ sqrt \ right) \ dQ $$
2. Тимчасово введемо кут $ \ beta: \ sin \ beta = \ frac
$. Користуючись все тієї ж симетрією, отримуємо $$ S = \ frac * \ pi k ^ 2 - 0,5k ^ 2 \ sin (\ pi-2 \ beta) =. = \ Frac-k ^ 2 \ arcsin \ frac
-p \ sqrt $$
Отже, маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими ($ p $ і $ S $), з якої якось можна вивести слідство - конкретне значення $ p $. За відсутністю навичок роботи з такими інтегралами і арксинуса вважаю завдання (наскільки можливо) вирішеною.
Керівник проекту - Данило Федорова
Використання матеріалів допускається лише за розміщенні активного посилання на джерело