I.Вираженія, в яких поряд з буквами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій і дужки, називаються алгебраїчними виразами.
Приклади виразів алгебри:
Так як букву в алгебраїчному вираженні можна замінити якимись різними числами, то букву називають змінної, а саме вираження алгебри - виразом зі змінною.
II.Еслі в алгебраїчному вираженні літери (змінні) замінити їх значеннями і виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням алгебраїчного виразу.
Приклади. Знайти значення виразу:
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) | x | + | Y | - | z | при x = -8; y = -5; z = 6.
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Замість змінних підставимо їх значення. отримаємо:
- 2+ 2 · 10 (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) | x | + | Y | - | z | при x = -8; y = -5; z = 6. Підставляємо вказані значення. Пам'ятаємо, що модуль негативного числа дорівнює протилежного йому числу, а модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу. отримуємо:
| -8 | + | -5 | - | 6 | = 8 + 5 -6 = 7.
III. Значення букви (змінної), при яких алгебраїчний вираз має сенс, називають допустимими значеннями літери (змінної).
Приклади. При яких значеннях змінної вираз не має сенсу?
Рішення. Ми знаємо, що на нуль ділити не можна, тому, кожне з даних виразів не матиме сенсу при тому значенні букви (змінної), яка звертає знаменник дробу в нуль!
У прикладі 1) це значення а = 0. Дійсно, якщо замість а підставити 0, то потрібно буде число 6 ділити на 0, а цього робити не можна. Відповідь: вираз 1) не має сенсу при а = 0.
У прикладі 2) знаменник х - 4 = 0 при х = 4, отже, це значення х = 4 і не можна брати. Відповідь: вираз 2) не має сенсу при х = 4.
У прикладі 3) знаменник х + 2 = 0 при х = -2. Відповідь: вираз 3) не має сенсу при х = -2.
У прикладі 4) знаменник 5 - | x | = 0 при | x | = 5. А так як | 5 | = 5 і | -5 | = 5, то можна брати х = 5 і х = -5. Відповідь: вираз 4) не має сенсу при х = -5 і при х = 5.
IV.Два вираження називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.
Приклад: 5 (a - b) і 5a - 5b тожественно рівні, так як рівність 5 (a - b) = 5a - 5b буде вірним при будь-яких значеннях a і b. Рівність 5 (a - b) = 5a - 5b є тотожність.
Тождество- це рівність, справедливе при всіх допустимих значеннях вхідних в нього змінних. Прикладами вже відомих вам тотожностей є, наприклад, властивості додавання і множення, розподільна властивість.
Заміну одного виразу іншим, тотожне рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням вираження. Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються на основі властивостей дій над числами.
a) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи розподільна властивість множення:
1) 10 · (1,2 х + 2,3у); 2) 1,5 · (a -2b + 4c); 3) a · (6m -2n + k).
Рішення. Згадаймо розподільна властивість (закон) множення:
(A + b) · c = a · c + b · c (розподільний закон множення відносно додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожний доданок помножити на це число і отримані результати скласти).
(А-b) · c = a · с-b · c (розподільний закон множення щодо вирахування: щоб різниця двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число зменшуване і від'ємник окремо і з першого результату відняти другий).
1) 10 · (1,2 х + 2,3у) = 10 · 1,2 х + 10 · 2,3у = 12х + 23У.
2) 1,5 · (a -2b + 4c) = 1,5А -3b + 6c.
3) a · (6m -2n + k) = 6am -2an + ak.
б) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи переместительное і сполучна властивості (закони) складання:
4) х + 4,5 + 2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.
Рішення. Застосуємо закони (властивості) складання:
a + b = b + a (переместітельний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(A + b) + c = a + (b + c) (сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього).
4) х + 4,5 + 2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.
в) перетворіть вираз в тотожно рівний, використовуючи переместительное і сполучна властивості (закони) множення:
Рішення. Застосуємо закони (властивості) множення:
a · b = b · a (переместітельний: від перестановки множників добуток не змінюється).
(A · b) · c = a · (b · c) (сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього).
Якщо алгебраїчне вираз дано у вигляді сократимостью дробу, то користуючись правилом скорочення дробу його можна спростити, тобто замінити тотожне рівним йому простішим виразом.
Приклади. Спростіть, використовуючи скорочення дробів.
Рішення. Скоротити дріб - це означає розділити її чисельник і знаменник на одне і те ж число (вираз), відмінне від нуля. Дріб 10) скоротимо на 3b; дріб 11) скоротимо на а і дріб 12) скоротимо на 7n. отримуємо:
Алгебраїчні вирази застосовують для складання формул.
Формула - це вираз, записане у вигляді рівності і виражає залежність між двома або кількома змінними. Приклад: відома вам формула шляху s = v · t (s - пройдений шлях, v - швидкість, t - час). Згадайте, які ще формули ви знаєте.
Сторінка 1 з 1 1