Приклад 1. Чи є метрикою на прямий (M = R) наступна функція: ρ (x. Y) = | 2 x - 2 y | ?
Так як ρ (x. Y) визначається через модуль, отже,
Перевіримо аксіоми метрики.
1) Покажемо, що з того, що ρ (x. Y) = 0 випливає, що x = y. нехай ρ (x. y) = 0. тоді
| 2 x - 2 y | = 0 2 x - 2 y = 0 2 x = 2 y x = y.
І назад, покажемо, що якщо x = y. то ρ (x. y) = 0:
нехай x = y. тоді ρ (x. y) = ρ (x. x) = | 2 x - 2 x | = 0.
Аксіома тотожності виконується.
2) ρ (x. Y) = | 2 x - 2 y | = | 2 y - 2 x | ρ (x. y) = ρ (y. x).
Аксіома симетрії виконується.
3) Перевіримо виконання аксіоми трикутника. Нехай z - будь-яке число. Тоді ρ (x. Y) = | 2 x - 2 y | = | 2 x - 2 z + 2 z - 2 y | ≤ | 2 x - 2 z |
+ | 2 z - 2 y | = Ρ (x. Z) + ρ (z. Y).
Відповідь: ρ (x. Y) = | 2 x - 2 y | - метрика. ▲
Приклад 2. Нехай M = R і ρ (x. Y) = | x 4 - y 4 |. Чи є ρ (x. Y) метрикою?
Перевіримо виконання аксіоми 1.
Нехай ρ (x. Y) = 0. тобто | x 4 - y 4 | = 0 x 4 - y 4 = 0 x 4 = y 4. Але з цього рівності не слід, що x = y. Дійсно, нехай x = 1, y = - 1. Тоді x 4 = 1 4 = 1, y 4 = (- 1) 4 = 1 x 4 = y 4. але x ≠ y. следова-
тельно, аксіома 1 не виконується і ρ (x. y) = | x 4 - y 4 | не є метрикою.
Відповідь: ρ (x. Y) = | x 4 - y 4 | перестав бути метрикою. ▲
Приклад 3. Нехай M = R і
Елементи лінійного простору V називаються векторами. Часто лінійне простір V називають векторним пространст-
Лінійно незалежної називається система векторів
k = 1, n. якщо їх лінійна комбінація звертається в 0 тільки при ну-
λ 1 f 1 + λ 2 f 2 + ... + λ n f n = 0 λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0.
В іншому випадку система називається лінійно залежною.
Базисом лінійного простору V розмірності dim V = n називається будь-яка сукупність n лінійно незалежних векторів.
Координатами вектора g в базисі
координати λ k. k = 1, n розкладання вектора g по базису
1. Чи є лінійним простір: а) порожня множина; б) безліч, що складається з одного нульового елемента.
2. Чи існує лінійне простір, що складається тільки з двох елементів?
3. Чи є лінійними просторами над полем R безлічі: а) раціональних чисел; б) ірраціональних чисел?
4. Чи є лінійним простором безліч квадратних матриць порядку n?
5. Встановити, чи є лінійними підпросторами задані безлічі векторів в n мірному векторному просторі V. і якщо є, то знайти їх розмірність:
а) безліч векторів, всі координати яких рівні між собою;
б) безліч векторів, перша координата яких дорівнює 0; в) безліч векторів, сума координат яких дорівнює 0; г) безліч векторів площини, паралельних між собою.
6. Знайти розмірність і базис лінійної оболонки заданої системи стовпців: