Система називається сумісною, або можливо розв'язати, якщо вона має принаймні одне рішення. Система називається несумісною, або нерозв'язною. якщо вона не має рішень.
Певна, невизначена СЛАР.
Якщо СЛАР має рішення і при тому єдине, що його називають певної а якщо рішення неєдиний - то невизначеною.
Матриці дають можливість коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь з трьома невідомими:
Розглянемо матрицю системи і матриці стовпці невідомих і вільних членів
тобто в результаті твори ми отримуємо ліві частини рівнянь даної системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць дану систему можна записати у вигляді
Тут матриці A і B відомі, а матриця X невідома. Її і потрібно знайти, тому що її елементи є вирішенням даної системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.
Нехай визначник матриці відмінний від нуля | A | ≠ 0. Тоді матричне рівняння вирішується таким чином. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1. зворотний матриці A.. Оскільки A -1 A = E і E # 8729; X = X. то отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X = A -1 B.
Зауважимо, що оскільки зворотний матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричних методом можна вирішувати тільки ті системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих.
Метод Крамера полягає в тому, що ми послідовно знаходимо головний визначник системи. тобто визначник матриці А. D = det (ai j) і n допоміжних визначників D i (i =), які виходять з визначника D заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.
Формули Крамера мають вигляд: D × x i = D i (i =).
З цього випливає правило Крамера, яке дає вичерпну відповідь на питання про спільності системи: якщо головний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами: x i = D i / D.
Якщо головний визначник системи D і всі допоміжні визначники D i = 0 (i =), то система має безліч рішень. Якщо головний визначник системи D = 0, а хоча б один допоміжний визначник відмінний від нуля, то система несумісна.
Теорема (правило Крамера): Якщо визначник системи # 916; ≠ 0, то розглянута система має одне і тільки одне рішення, причому
Доказ: Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь з трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на алгебраїчне доповнення A11 елемента a11. 2-е рівняння - на A21 і 3-е - на A31:
Складемо ці рівняння:
Розглянемо кожну з дужок і праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладанні визначника за елементами 1-го стовпця.
Далі розглянемо коефіцієнти при x2:
Аналогічно можна показати, що і.
Нарешті нескладно помітити, що
Таким чином, отримуємо рівність:. Отже,.
Аналогічно виводяться рівності і. звідки і випливає твердження теореми.
Теорема Кронекера - Капеллі.
Система лінійних рівнянь є спільною тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.
Доказ: Воно розпадається на два етапи.
1. Нехай система має рішення. Покажемо, що.
Нехай набір чисел є розв'язком системи. Позначимо через -ий стовпець матриці. . Тоді. тобто стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці. Нехай. Припустимо, що . Тоді по. Виберемо в базисний мінор. Він має порядок. Стовпець вільних членів зобов'язаний проходити через цей мінор, інакше він буде базисним мінор матриці. Стовпець вільних членів в мінорі є лінійною комбінацією стовпців матриці. В силу властивостей визначника. де - визначник, який виходить з мінору заміною стовпця вільних членів на стовпець. Якщо стовпець проходив через мінор M, а саме ст. буде два однакових шпальти і, отже,. Якщо стовпець не проходив через мінор. то буде відрізнятися від мінору порядку r + 1 матриці тільки порядком стовпців. Так як . то. Таким чином, . що суперечить визначенню базисного мінору. Значить, припущення, що. невірно.
2. Нехай. Покажемо, що система має рішення. Так як . то базисний мінор матриці є базисним мінор матриці. Нехай через мінор проходять стовпці. Тоді по теоремі про базисному мінорі в матриці стовпець вільних членів є лінійною комбінацією зазначених стовпців:
Покладемо. . . . інші невідомі візьмемо рівними нулю. Тоді при цих значеннях отримаємо
В силу рівності (1). Остання рівність означає, що набір чисел є розв'язком системи. Існування рішення доведено.
У розглянутій вище системі. і система є спільною. В системі . . і система є несумісною.
Зауваження: Хоча теорема Кронекера-Капеллі дає можливість визначити, чи є система спільної, застосовується вона досить рідко, в основному в теоретичних дослідженнях. Причина полягає в тому, що обчислення, які виконуються при знаходженні рангу матриці, в основному збігаються з обчисленнями при знаходженні рішення системи. Тому, зазвичай замість того, щоб знаходити і. шукають рішення системи. Якщо його вдається знайти, то дізнаємося, що система сумісна і одночасно отримуємо її рішення. Якщо рішення не вдається знайти, то робимо висновок, що система несумісна.
Алгоритм знаходження рішень довільної системи лінійних рівнянь (метод Гаусса)
Нехай дана система лінійних рівнянь з невідомими. Потрібно знайти її спільне рішення, якщо вона сумісна, або встановити її несумісні. Метод, який буде викладено в цьому розділі, близький до методу обчислення визначника і до методу знаходження рангу матриці. Пропонований алгоритм називається методом Гаусса або методом послідовного виключення невідомих.
Випишемо розширену матрицю системи
Назвемо елементарними операціями наступні дії з матрицями:
1. перестановка рядків;
2. множення рядка на число, відмінне від нуля;
3. складання рядки з іншого рядком, помноженої на число.
Відзначимо, що при вирішенні системи рівнянь, на відміну від обчислення визначника і знаходження рангу, не можна оперувати за допомогою стовпців. Якщо по матриці, отриманої з виконанням елементарної операції, відновити систему рівнянь, то нова система буде рівносильна вихідної.
Мета алгоритму - за допомогою застосування послідовності елементарних операцій до матриці домогтися, щоб кожен рядок, крім, можливо, першою, починалася з нулів, і число нулів до першого ненульового елемента в кожній наступній рядку було більше, ніж у попередній.
Крок алгоритму полягає в наступному. Знаходимо перший ненульовий стовпець у матриці. Нехай це буде стовпець з номером. Знаходимо в ньому ненульовий елемент і рядок з цим елементом міняємо місцями з першим рядком. Щоб не нагромаджувати додаткових позначень, будемо вважати, що така зміна рядків в матриці вже проведена, тобто. Тоді до другої рядку додамо першу, помножену на число. до третьому рядку додамо першу, помножену на число. і т.д. В результаті отримаємо матрицю
(Перші нульові стовпці, як правило, відсутні.)
Якщо в матриці зустрілася рядок з номером k, в якій всі елементи дорівнюють нулю, а. то виконання алгоритму зупиняємо і робимо висновок, що система несумісна. Дійсно, відновлюючи систему рівнянь за розширеною матриці, отримаємо, що -е рівняння матиме вигляд
Цьому рівнянню не задовольняє жоден набір чисел.
Матрицю можна записати у вигляді
По відношенню до матриці виконуємо описаний крок алгоритму. отримуємо матрицю
де. . Цю матрицю знову можна записати у вигляді
і до матриці знову застосуємо описаний вище крок алгоритму.
Процес зупиняється, якщо після виконання чергового кроку нова зменшена матриця складається з одних нулів або якщо вичерпані всі рядки. Зауважимо, що висновок про несумісності системи могло зупинити процес і раніше.
Якби ми не зменшували матрицю, то в підсумку прийшли б до матриці виду
Далі виконується так званий зворотний хід методу Гаусса. По матриці складаємо систему рівнянь. У лівій частині залишаємо невідомі з номерами, що відповідають першим ненульовим елементам в кожному рядку, тобто. Зауважимо, що. Решта невідомі переносимо в праву частину. Вважаючи невідомі в правій частині деякими фіксованими величинами, нескладно висловити через них невідомі лівій частині.
Тепер, надаючи невідомим в правій частині довільні значення і обчислюючи значення змінних лівій частині, ми будемо знаходити різні рішення вихідної системи Ax = b. Щоб записати загальне рішення, потрібно невідомі в правій частині позначити в будь-якому порядку буквами. включаючи і ті невідомі, які явно не виписані в правій частині через нульові коефіцієнтів, і тоді стовпчик невідомих можна записати у вигляді стовпчика, де кожен елемент буде лінійною комбінацією довільних величин (зокрема, просто довільною величиною). Ця запис і буде спільним рішенням системи.
Якщо система була однорідною, то отримаємо загальне рішення однорідної системи. Коефіцієнти при. взяті в кожному елементі стовпчика спільного рішення, складуть перше рішення з фундаментальної системи рішень, коефіцієнти при - друге рішення і т.д.
Спосіб 2: Фундаментальну систему рішень однорідної системи можна отримати і іншим способом. Для цього однієї змінної, перенесеної в праву частину, потрібно привласнити значення 1, а іншим - нулі. Зрозумівши значення змінних в лівій частині, отримаємо одне рішення з фундаментальної системи. Присвоївши іншої змінної в правій частині значення 1, а іншим - нулі, отримаємо друге рішення з фундаментальної системи і т.д.
Визначення: система називається спільно й, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною - в іншому випадку, тобто у разі, коли рішень у системи немає. Питання про те, чи має система рішення чи ні, пов'язаний не тільки з співвідношенням числа рівнянь і числа невідомих. Наприклад, система з трьох рівнянь з двома невідомими
має рішення. і навіть має нескінченно багато рішень, а система з двох рівнянь з трьома невідомими
рішень не має, тобто є несумісною.
Визначення: Розширеної матрицею системи лінійних рівнянь називається матриця. відрізняється від матриці системи наявністю додаткового стовпчика з вільних членів:
Слідство: Ранг розширеної матриці або дорівнює рангу матриці системи A, або більше його на одиницю.
Доказ: Так як будь-яка лінійно незалежна система стовпців матриці A є лінійно незалежною системою стовпців матриці. то в силу пропозиції 14.26 (Ранг матриці дорівнює максимальному числу її стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему).
Нехай. Припустимо, що . . Тоді в матриці є лінійно незалежна система з r + k стовпців. Серед цих стовпців може бути тільки один, що не належить матриці A. Тоді підсистема інших r + k-1 стовпців, що належать матриці A. повинна бути лінійно незалежною. Отже,. Отримали протиріччя. Припущення, що k> 1, невірно.
Квадратні системи з невироджених матрицею.
Система називається квадратної. якщо число m її рівнянь дорівнює числу n невідомих, тобто коли її матриця A - квадратна матриця.
Рішення СЛАР: Нехай дана СЛАР
Дана система завжди сумісна так як має тривіальне рішення х1 = ... = хn = 0
Для існування нетривіальних рішень необхідно і достатньо виконання
словия r = r (A) Th Сукупність рішень СЛАР утворює лінійний простір розмірності (n-r). Це означає, що твір її рішення на число, а також сума і лінійна комбінація кінцевого числа її рішень є рішеннями цієї системи. Лінійне простір рішень будь-СЛАР є подпространством простору R n. Будь-яка сукупність (n-r) лінійно незалежних рішень СЛАР (що є базисом в просторі рішень) називається фундаментальною сукупністю рішень (ФСР). Нехай х1, ..., хr - базисні невідомі, хr + 1, ..., хn - вільні невідомі. Вільним змінним дамо по черзі наступні значення: Визначивши значення базисних змінних, що відповідають кожному набору значень вільних змінних, отримаємо рішення: Побудована таким чином система рішень системи рівнянь називається нормальнойфундаментальной сукупністю рішень. Теорема. Безліч всіх рішень однорідної системи рівнянь Утворює лінійне простір S (простір рішень), яке є подпространством в R n (n - число невідомих), причому dims = k = n-r, де r- ранг системи. Базис в просторі рішень називається фундаментальною системою рішень, і загальне рішення має вигляд: