Полярне відповідність для опуклих конусів було отримано із співвідношення подвійності для опуклих функцій. Цікаво, що можливо і зворотне. [16]
У параграфах 6.1 і 6.2 нами були отримані співвідношення подвійності для задач лінійного і квадратичного програмування. [17]
Часто равносильность формул алгебри вибору можна встановити на основі співвідношень подвійності. [18]
У 80] наведено ряд умов, достатніх для виконання співвідношень подвійності. [19]
Равносильность умов 1) і 2) безпосередньо випливає з співвідношень подвійності. [20]
Тоді завдання (3.12) - (3.15) і (3.16) - (3.17) пов'язані співвідношенням подвійності SS. і при S-S. [21]
Зауважимо, що при вирішенні прикладів на побудову заперечень формул зручно мати на увазі, що для обмежених кванторів зберігається співвідношення подвійності. [22]
Легко бачити, що міститься в теоремі 2 (для випадку, коли г - метрика) ознака оптимального переміщення можна переформулювати як співвідношення подвійності АВ. У загальному випадку оптимального переміщення може не існувати, однак зазначене співвідношення подвійності має сенс завжди і, якщо г (t, /) 0 (/ ЄК), то воно виконується. Вивченню останнього випадку присвячена також робота: Алсинбаев, Імомназаров і Рубінштейн [I], де будується допоміжне простір з несиметричною нормою, і з його допомогою точно так же, як це робилося вище для розглянутого класичного випадку, встановлюються всі необхідні результати. [23]
На закінчення цього параграфа відзначимо, що встановлюється леммой 2.1 співвідношення (2.13) між значеннями лінійних функцій (2.3) і (2.8) на допустимих векторах розглянутих задач I і I прийнято називати співвідношенням подвійності. Це не означає, що розглядаються завдання істотно відрізняються один від одного. Завдання I легко зводиться до еквівалентної задачі типу I. При цьому двоїста до неї задача виявляється еквівалентної вихідної задачі I. Для пояснення сказаного поряд з завданнями I і I розглянемо наступні дві екстремальні завдання. [24]
Завдання про мінімумі / - g і максимумі g - f (де / - (опукла) сполучена к /, a g - (увігнута) сполучена до g) зв'язані співвідношеннями подвійності. Як ми побачимо, ця двоїстість випливає з загальних побудов попереднього параграфа, однак її можна вивчати і незалежно, використовуючи найпростіші міркування, що спираються на теореми отделимости. [25]
Підмножина 0 булевої алгебри Ж називається подалгебру алгебри Ж, якщо воно містить 0 і 1 і замкнуто щодо основних булевих операцій V Л, С: при х, y Q має бути х V У у х Л у, Сх, Су е Q. Використовуючи співвідношення подвійності. легко показати, що підмножина 0 буде подалгебру вже тоді, коли воно замкнуто щодо операцій V, С або Л, С. Нарешті, звичайна індукція показує, що будь-яка подалгебра містить межі всіх своїх кінцевих підмножин. [26]
Для оптимальних рішень в нерівностях (1 6) і (16), отриманих при виведенні нерівності (17), повинен досягатися знак рівності. Тому справедливі наступні співвідношення, що отримали назву співвідношень подвійності. [28]
Коли між двома завданнями лінійного або нелінійного програмування існують певного виду співвідношення, то кажуть, що ці завдання двоїсті один до одного. Теореми подвійності точно визначають ці співвідношення. Часто ці теореми мають форму твердження, що за певних умов завдання мінімізації з обмеженнями пов'язана з певним завданням максимізації наступним чином: якщо існує рішення одним із завдань, то існує рішення і інший, причому ці рішення збігаються. У цих випадках вихідну задачу називають прямою, а пов'язану з нею співвідношенням подвійності - двоїстої завданням. [29]
Сторінки: 1 2