Підмножини. Ставлення включення.
Безліч $ X $ називається підмножиною множини $ Y $, якщо будь-який елемент безлічі $ X \ in \ Y $. Прийнято позначати це наступним чином: $ X \ subseteq \ Y $.
Якщо необхідно вказати, що $ Y $ містить і інші елементи, а не тільки елементи безлічі $ X $, то прийнято використовувати символ суворого включення $ \ subset \. X \ subset \ Y $.
Зв'язок між символами суворого і не суворого включення ($ \ subset $ і $ \ subseteq $) показана виразом:
$$ X \ subset \ Y \ Leftrightarrow \ X \ subseteq \ Y \ і \ X \ ne \ Y $$
Виділимо деякі властивості, які випливають з визначення:
- $ X \ subseteq \ X $ (рефлексивність);
- $ \ Left [X \ subseteq \ Y \ і \ Y \ subseteq \ Z \ right] \ Rightarrow \ X \ subseteq \ Z $ (транзитивність);
- $ \ Varnothing \ \ subseteq \ M $. Відзначимо, що порожня множина є підмножиною будь-якої підмножини.
Початкове безліч $ A $ по відношенню до його підмножини є повним безліччю і його прийнято позначати $ I $.
Власне безліч безлічі $ A $ - це будь-яка підмножина $ A_i $ безлічі $ A $.
Булеані безлічі $ X $ - називається множина, що складається з усіх підмножин даної множини $ X $ і порожнього безлічі $ \ varnothing $. Прийнято позначати як $ \ beta (X) $. Безліч булеана $ \ left | \ beta (X) \ right | = 2 ^ n $.
Зліченна безліч - це безліч $ A $, яке збігається за потужністю з безліччю натуральних чисел $ N $. Іншими словами - якщо безліч, еквівалентно безлічі натуральних чисел, то воно називається рахунковим безліччю.
Безліч $ A $ називається незліченну. якщо воно нескінченно і не є рахунковим.
Існує 2 основних способи завдання множин.
- Перерахуванням $ (X = \ left \, Y = \ left \, Z = \ left \, M = \ left \, m_, m_. M_ \ right \>) $;
- Описом - вказуються характерні властивості. якими володіють всі елементи множини.
Безліч повністю визначено своїми елементами.
Кінцеві безлічі можна задати тільки перерахуванням їх елементів (наприклад, безліч днів у місяці).
Для завдання нескінченних множин потрібно описати властивості їх елементів (наприклад, безліч раціональних чисел можна задати описом $ Q = \ left \ $.
Підмножиною множини $ A $ можна розглядати саме безліч $ A $ і порожня множина $ \ varnothing $. Ці два підмножини називаються невласними. Решта підмножини безлічі $ A $ називатимуться власними.
література:
- Конспект лекцій Г.С. Білозьорова
- Лінійна алгебра. Воєводін В.В. М. Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1980, с.9-13
- Лекції з загальної алгебри (видання друге). Курош А.Г. М. Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1973, с.14-17