Це підтверджує і такий приклад.
Прімер2.9.1. Застосувати умова Стодоли до схеми рис. 2.9.2.
Передавальна функція розімкнутої по ланцюгу одиничної негативні-котельної зворотного зв'язку системи дорівнює і характерістічес-кое рівняння замкнутої системи є сума чисельника і знаменника, т. Е.
Так як відсутній член з р в першого ступеня (a1 = 0), то умова Стодоли не виконується і система нестійка. Дана система структурно нестійка, тому що ні при яких значеннях параметрів k1 і k2 не може бути стійкою.
Щоб зробити систему стійкою, потрібно ввести додаткову зв'язок або коригуючий ланка, тобто змінити структуру системи. Покажемо це на прикладах. На рис. 2.9.3. ланка прямий ланцюга представлено послідовно включеними ланками з передавальними функціями і. Паралельно першому введенні додаткова зв'язок.
П ередаточная функція розімкнутої по одиничної негативного зв'язку системи і характеристичне рівняння замкнутої системи відповідно дорівнює
Тепер умова Стодоли виконується при будь-яких. Так як у випадку рівняння другого ступеня воно не тільки необхідно, але і досить, то система стійка при будь-яких позитивних коефіцієнтах посилення.
На ріс.2.9.4 в схему введено послідовно форсує ланка. Передавальна функція розімкнутої по ланцюгу одиничної негативного зв'язку системи в цьому випадку дорівнює і характеристичне рівняння замкнутої системи дорівнює
Аналогічно до попереднього система стійка при будь-яких позитивних.
Критерій стійкості Раусса-Гурвіца
Математики Раусс (Англія) і Гурвіц (Швейцарія) розробили цей критерій приблизно в один час. Відмінність полягала в алгоритмі обчислень. Ми познайомимося з критерієм в формулюванні Гурвіца.
Cтруктура визначника Гурвіца легко запам'ятовується, якщо врахувати, що по головній діагоналі розташовані коефіцієнти а1, ..., аn. в рядках розташовані коефіцієнти через один, якщо вони вичерпані, то вільні місця заповнюються нулями.
Приклад 2.9.2. Дослідити на стійкість по Гурвіцу систему з одиничною негативним зворотним зв'язком, в прямій ланцюга якої включені три інерційних ланки і, отже, передавальна функція розімкнутої системи має вигляд (2.9.5)
Запишемо характеристичне рівняння замкнутої системи як суму чисельника і знаменника (2.9.5):
Визначник Гурвіца і його мінори мають вигляд
з урахуванням a0> 0 з суворої позитивності визначника Гурвіца і миноров (2.9.6) випливає умова Стодоли і, крім того, умова a1a2-a0a3> 0, що після підстановки значень коефіцієнтів дає
Звідси видно, що при збільшенні k система з стійкою може перетворитися в нестійку, так як нерівність (2.9.7) переста-немає виконуватися.
Передавальна функція системи помилково дорівнює
Згідно з теоремою про кінцевий значенні оригіналу встановилася помилка відпрацювання одиничного ступеневої сигналу буде дорівнює 1 / (1 + k). Отже, виявляється протиріччя між ус-тойчивость і точністю. Для зменшення помилки треба збільшувати k. але це призводить до втрати стійкості.
Принцип аргументу і критерій стійкості Михайлова
Критерій Михайлова заснований на так званому принципі аргументу.
Розглянемо характеристичний поліном замкнутої системи, який по теоремі Безу можна представити у вигляді
Зробимо підстановку p = j
Для конкретного значення має точку на комплексній площині, що задається параметричними рівняннями
Е слі змінювати в діапазоні від - до , то буде прокреслена крива Михайлова, т. Е. Годограф. Вивчимо поворот вектора D (j) при зміні від - до , т. Е. Знайдемо приріст аргументу вектора (аргумент дорівнює сумі для добутку векторів):.
При = - різницевий вектор, початок якого в точці рi. а кінець на уявної осі, спрямований вертикально вниз. У міру зростання кінець вектора ковзає уздовж уявної осі, а при = вектор направлений вертикально вгору. Якщо корінь лівий (рис. 2.9.19а), то arg = + , а якщо корінь правий, то arg = -.
Якщо характеристичне рівняння має m правих коренів (відповідно n - m лівих), то.
Це і є принцип аргументу. При виділенні дійсної частини Х () та уявної Y () ми віднесли до Х () всі складові, які містять j в парному ступеня, а до Y () - в непарній ступеня. Тому крива Михайлова симетрична щодо дійсної осі (Х () - парна, Y () - непарна функція). В результаті, якщо змінювати від 0 до + , то приріст аргументу буде в два рази менше. У зв'язку з цим остаточно принцип аргументу формулюється в такий спосіб. (2.9.29)
Якщо система стійка, тобто m = 0, то отримуємо критерій стійкості Михайлова.
За Михайлову для стійкості необхідно і достатньо, щоб
тобто крива Михайлова повинна послідовно проходити через n чвертей проти годинникової стрілки.
Очевидно, що для застосування критерію Михайлова не потрібно точного і детального побудови кривої. Важливо встановити, яким чином вона огинає початок координат і чи не порушується послідовність проходження n чвертей проти годинникової стрілки.
Прімер2.9.6. Застосувати критерій Михайлова для перевірки стійкості-вості системи, показаної на ріс.2.9.20.
Характеристичний поліном замкнутої системи при k1k2> 0 відповідає стійкій системі, так умова Сто-доли виконується, а для n = 1 воно досить. Можна безпосереднім-ного знайти корінь р1 = - k1k2 і переконатися, що необхідна і достатня умова стійкості виконано. Тому застосування критерію Михайлова носить ілюстративний характер. Вважаючи p = j, отримаємо
За параметричних рівнянь (2.9.31) побудований годограф Мі-Хайлова на ріс.2.9.21, з якого видно, що при зміні від 0 до вектор D (j) повертається проти годинникової стріл-ки на + / 2. тобто система стійка.
Критерій стійкості Найквіста
До ак вже було зазначено, кри-терій Найквиста займає особливе положення серед критеріїв стійкості. Це частотний критерій, що дозволяє визначити стійкість замкнутої системи по частотним характеристикам ра-зомкнутой. При цьому передбачається, що система розімкнути по ланцюгу одиничної негативного зворотного зв'язку (ріс.2.9.22).
Одним з достоїнств критерію Найквіста є те, що частотні характеристики розімкнутої системи можуть бути отримані експери-ментально.
Висновок критерію заснований на використанні принципу аргументу. Передавальна функція розімкнутої системи (по ланцюгу одиничної від-ріцательно зворотного зв'язку на ріс.2.9.22) дорівнює
У разі реальної системи з обмеженою смугою про-пускання ступінь знаменника передавальної функції розімкнутої системи п більшій мірі чисельника, тобто n>. Тому ступеня характеристичних поліномів розімкнутої системи і замкнутої системи однакові і рівні n. Перехід від АФХ розімкнутої системи до АФХ по (2.9.32) означає збільшення дійсної частини на 1, тобто перенесення початку координат в точку (-1, 0), як показано на ріс.2.9.23.
П редположім тепер, що замкнута система стійка, а характеристичне рівняння розімкнутої системи А (р) = 0 має m правих коренів. Тоді відповідно до принципу аргументу (2.9.29) отримаємо необхідна і достатня умова стійкості замкнутої системи по Найквіста
Тобто для стійкості замкнутої системи вектор W1 (j) дол-дружин робити m / 2 повних обертів проти годинникової стрілки, що рівносильно повороту вектора Wpaз (j) щодо крити-чеський точки (-1,0).
На практиці, як правило, разомкнутая система стійка, тобто m = 0. В цьому випадку приріст аргументу дорівнює нулю, тобто АФХ розімкнутої системи не повинна охоплювати критичну точку (-1,0).
Критерій Найквіста для Лах і ЛФХ
На практиці частіше використовуються логарифмічні характеристики розімкнутої системи. Тому доцільно сформулювати критерій Найквіста для визначення стійкості замкнутої системи по ним. Кількість оборотів АФХ щодо відповідності-но критичної точки (-1,0) і охоплення або не охопила її
залежать від кількості позитивних і негативних перетинів інтервалу (-, -1) дійсної осі і відповідно перетинів фазової характеристикою лінії -180 ° в області L () 0. На ріс.2.9.24 зображені АФХ і показ ани знаки перетинів відрізка ( -, -1) дійсної осі.
де - число позитивних і негативних перетинів.
За АФХ ріс.2.9.24в побудовані Лах і ЛФХ, зображені на ріс.2.9.25, причому на ЛФХ відзначені позитивні і негативні перетину. На відрізку (-, -1) модуль більше одиниці, чому відповідає L ()> 0. Тому Критерій Найквіста:
Д ля стійкості замкнутої системи ЛФХ розімкнутої системи в області, де L ()> 0, повинна мати позитивних перетинів лінії -180 ° на більше, ніж негативних.
Якщо разомкнутая система стійка, то число позитивних і негативних перетинів фазової характеристикою лінії -180 ° в області L ()> 0 для стійкості замкнутої системи має бути однаковим або пересічний не повинно бути.
Критерій Найквіста для астатической системи
Особливо необхідно розглянути випадок астатической системи порядку r з функцією передачі розімкнутої системи, що дорівнює
В цьому випадку при 0, т. Е. Амплітудно-фазова характеристика (АФХ) розімкнутої системи йде в нескінченність. Раніше ми будували АФХ при зміні від - до і це була безперервна крива, замкнута при = 0. Тепер вона також замикається при = 0, але на нескінченності і при цьому не ясно, з якого боку дійсної осі ( на нескінченності зліва чи справа?).
Ріс.2.9.19в ілюструє, що в цьому випадку виникає невизначеність у підрахунку збільшення аргументу разностного вектора. Він тепер весь час розташований уздовж уявної осі (збігається з j). Тільки при переході через нуль змінюється напрямок (при цьому поворот вектора проти годинникової стрілки на або за годинниковою стрілкою на -?), Для визначеності вважаємо умовно, що корінь лівий і огибание початку координат відбувається по дузі нескінченно малого радіусу проти годинникової стрілки (поворот на + ). Відповідно в околиці = 0 представимо у вигляді
де = + при зміні від - 0 до + 0. Останній вираз показує, що при такому розкритті невизначеності АФХ повертається при зміні від - 0 до + 0 на кут - за годинниковою стрілкою. Відповідно побудовану АФХ треба при = 0 доповнити дугою нескінченності радіуса на кут, т. Е. Проти годинникової стрілки до позитивної дійсної півосі.
Запаси стійкості по модулю і фазі
Щоб гарантувати стійкість при змінах параметрів системи вводяться запаси стійкості по модулю і фазі, що визначаються наступним чином.
Запас стійкості по модулю показує у скільки разів або на скільки децибел допустимо збільшувати або зменшувати коефі-цієнт посилення, щоб система залишалася стійкою (виявлялася на кордоні стійкості). Він визначається як min (L3, L4) на ріс.2.9.25. Дійсно, якщо не міняти ЛФХ, то при підйомі Лах на L4 частота зрізу ср переміститься в точку 4 і система виявиться на межі стійкості. Якщо опустити Лах на L3. то частота зрізу зміститься вліво в точку 3 і система також виявиться на межі стійкості. Якщо опустити Лах ще нижче, то в області L ()> 0 залишиться тільки негативне перетин ЛФХ лінії -180 °, тобто за критерієм Найквіста система стане нестійкою.
Запас стійкості по фазі показує, на скільки допустимо збільшити фазовий зсув при незмінному коефіцієнті посилення, щоб система залишалася стійкою (виявилася на межі стійкості). Він визначається як доповнення (ср) до -180 °.