Подібно до того, як існує таблиця множення натуральних чисел, можна скласти таблицю множення в безлічі операцій симетрії молекули. Ця таблиця називається таблицею Келі (або квадратом Келі). Для того, щоб зрозуміти загальний принцип складання таких таблиць, запишемо таблицю Келі для випадку безлічі операцій симетрії молекули аміаку NH3 (табл. 1).
Квадрат Келі групи C3V
3. Визначення групи
Визначення 2. Безліч G називається групою, якщо в цій множині визначена бінарна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким аксіомам (в мультипликативной записи операцій):
1. Для всіх елементів a, b, c з безлічі G (аксіома асоціативності).
2. Для всіх елементів а з безлічі G існує елемент e з цієї множини, такий, що (е називається одиничним елементом групи).
3. Для кожного елемента а для безлічі G існує елемент а-1 з цього з цього безлічі, такий, що (а-1 називається зворотним елементом до елементу а).
Розглянувши таблицю Келі для безлічі C3V, можна переконатися, що безліч операцій симетрії молекули аміаку є групою щодо введеної нами операції множення в цій множині.
Визначення 3. Підмножина H групи G називається підгрупою групи G, якщо H саме є групою щодо операції, введеної в групі G.
Для перевірки того, що H є підгрупою групи G, треба перевірити дві умови: твір двох елементів з Н знову належить Н і разом з елементом h зворотний до нього елемент з групи G (він повинен існувати) також належить Н. Справді, тоді ; асоціативність ж множення, будучи вірною у всій групі G, матиме місце і в підгрупі Н.
Теорема 1. Безліч всіх операцій симетрії молекули є групою. Ця група є підгрупою симетричної групи перестановок фігури, що зображає геометричну модель молекули.
Визначення 4. Групою симетріїмолекули називається безліч S всіх операцій симетрії молекули, на якому введена структура групи щодо множення операцій симетрії молекули.
4. гомоморфізми і ізоморфізми