учитель математики МОУ «ЗОШ №36», м Ангарськ
Біном Ньютона - одна з тем, розгляд яких сприяє глибинному розумінню учнями на тільки комбінаторних понять, але і формул скороченого множення. У даній статті представлений один з варіантів лекції для старшокласників на тему «Біном Ньютона».
План лекції 1. Поняття бинома Ньютона
2. Властивості бинома і біноміальних коефіцієнтів
3. Типові завдання по темі «Біном Ньютона»
4. Завдання, які зводяться до використання формули бінома Ньютона (нестандартні завдання по темі «Біном Ньютона»)
Поняття бинома Ньютона
Біном Ньютона називають розкладання виду:
Але, строго кажучи, всю формулу не можна назвати біном, так як «біном» перекладається як «двочлен». Крім того, формула розкладання була відома ще до Ньютона, Ісаак Ньютон поширив це розкладання на випадок n<0 и n – дробного.
Мета вивчення бинома Ньютона - спрощення обчислювальних дій.
Компоненти формули «біном Ньютона»:
ü права частина формули - розкладання бінома;
ü - біноміальні коефіцієнти, їх можна отримати за допомогою трикутника Паскаля (користуючись операцією додавання).
Практична значимість трикутника Паскаля полягає в тому, що з його допомогою можна запросто відновлювати по пам'яті не тільки відомі формули квадратів суми і різниці, а й формули куба суми (різниці), четвертого ступеня і вище.
Наприклад, четверта рядок трикутника якраз наочно демонструє біноміальні коефіцієнти для бинома четвертого ступеня:
Альтернатива трикутнику Паскаля:
1) перемножити почленно чотири дужки:
2) згадати розкладання бінома Ньютона четвертого ступеня:
ü загальний член розкладання бінома n-го ступеня:,
де Т - член розкладання; - порядковий номер члена розкладання.
Властивості бинома і біноміальних коефіцієнтів
2. Число всіх членів розкладання на одиницю більше показника ступеня бинома, тобто одно
3. Сума показників ступенів a і b кожного члена розкладання дорівнює показнику степеня бінома, тобто n
Розглянемо -й член розкладання:
Сума показників ступенів a і b.
4. Біноміальні коефіцієнти членів розкладання, рівновіддалених від кінців розкладання, рівні між собою: (правило симетрії)
5. Сума біноміальних коефіцієнтів всіх членів розкладання дорівнює
o ліва частина дорівнює;
o права частина дорівнює
6. Сума біноміальних коефіцієнтів, що стоять на непарних місцях, дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, що стоять на парних місцях і дорівнює
7. Правило Паскаля:
8. Будь-біноміальний коефіцієнт, починаючи з другого, дорівнює добутку попереднього біноміального коефіцієнта і дроби
Типові завдання по темі «Біном Ньютона»
До типових (стандартних) завдань з даної теми можна віднести завдання на обчислення, серед яких:
1. Знайти член (номер члена) розкладання бінома
2. Вивести біном по відомим членам розкладання (за відомою сумі)
3. Обчислити суму біноміальних коефіцієнтів розкладання бінома
Продемонструємо на прикладах (їх рішення нескладне, тому більшість пропонуємо вирішити самостійно).
Розкласти по формулі біном
ЗВЕРНІТЬ УВАГУ на знакочередованіе!
Знайти шостий член розкладання
ЗВЕРНІТЬ УВАГУ на знак!
Краще починати міркування з наступного:
Знайдіть два середніх члена розкладання
ЗВЕРНІТЬ УВАГУ на те, що ці члени рівновіддалена від кінця, тому їх біноміальні коефіцієнти дорівнюватимуть.
НЕ ЗАБУДЬТЕ в процесі рішення проводити перетворення ступенів з підставами (тобто спрощувати).
У біноміальними розкладанні знайти член розкладання, що не містить х
Так як в розкладанні ми шукаємо член який не містить х. то
Завдання, які зводяться до використання формули бінома Ньютона
(Нестандартні завдання по темі «Біном Ньютона»)
До нестандартних завдань з даної теми можна віднести такі, в яких немає явного натяку на необхідність використання бинома. Однак в підсумку, рішення зводиться до нього і виглядає дуже цікавим.
Довести, що для будь-яких і для будь-яких вірно нерівність Бернуллі:
Переформулюємо вимога: Довести, що, де
Так як, значить в розкладанні як мінімум три члени розкладання, тоді:
Це означає, що
(Примітка: використовуйте нерівність Бернуллі)
Довести, що при будь-якому натуральному n число ділиться на 9
$ Додаткові завдання для самостійного виконання
1) Знайти номер члена розкладання бінома, що не містить х.
2) Знайти п'ятий член розкладання бінома.
3) Знайти суму біноміальних коефіцієнтів членів, що стоять на непарних місцях в розкладанні бінома, якщо біноміальний коефіцієнт третього члена на 9 більше біноміального коефіцієнта другого члена.
4) Знайти сьомий член розкладання бінома, якщо біноміальний коефіцієнт третього члена дорівнює 36.
5) Скільки членів розкладання бінома є цілими числами?
6) Обчислити суму.
7) Знайти алгебраїчну суму коефіцієнтів многочлена щодо х. одержуваного в розкладанні бінома.
8) Сума непарних біноміальних коефіцієнтів розкладання дорівнює 512. Знайти доданок, що не містить х.
9) При яких значеннях х четверте доданок розкладання більше двох сусідніх з ним доданків?
10) При якому значенні х четверте доданок розкладання в двадцять разів більше m, якщо біноміальний коефіцієнт четвертого доданка відноситься до біноміальному коефіцієнту другого доданка як 5. 1?
11) У яку найбільшу ступінь слід звести біном щоб відношення четвертого доданка розкладання до третього дорівнювало?