З 1763 року Безу викладав математику в училище гардемаринів, а з 1768 року і в королівському артилерійському корпусі.
Основні роботи Етьєна Безу ставляться до вищої алгебри, вони присвячені створенню теорії розв'язання алгебраїчних рівнянь. В теорії розв'язання систем лінійних рівнянь він сприяв виникненню теорії визначників. розвивав теорію виключення невідомих з систем рівнянь вищих ступенів, довів теорему (вперше сформульовану К. Маклореном) про те. що дві криві порядку m і n перетинаються не більше ніж в mn точках. У Франції та за її кордоном аж до 1848 року був дуже популярний його шеститомного "Курс математики", написаний ним в 1764-69 роках. Безу розвинув метод невизначених множників, в елементарної алгебрі його ім'ям названо спосіб розв'язання систем рівнянь, заснований на цьому методі. Частина праць Безу присвячена зовнішньої балістики. Іменем вченого названа одна з основних теорем алгебри.
R - залишок від ділення (R не містить змінної x як дільник першого ступеня щодо x).
Згідно з правилом ділення многочленів із залишком можна записати:
Щоб довести цю теорему потрібно розглянути необхідність і достатність сформульованого умови.
Таким чином подільність P (x) на (x-a) є необхідною умовою для того. щоб a було коренем P (x). тому є наслідком з цього.
Таким чином подільність P (x) на (x-a) є і достатньою умовою для того. щоб a було коренем P (x).
Подільність P (x) на (x-a) є необхідною і достатньою умовою для того, щоб a було коренем P (x). що й потрібно було довести .
Многочлен. НЕ імеющійй действи-
тільних коренів. в розкладанні
на множники лінійних множників
Скористаємося методом від противного: предпол-жим. що не має коренів багаточлен P (x) при розкладанні на множники містить лінійний множник (x-a):
тоді б він ділився на (x-a). але по слідству 6 a було б коренем P (x). а за умовою він коренів не містить. Ми прийшли до протиріччя. значить наше припущення невірно і многочлен,
не має дійсних коренів. в розкладанні на множники лінійних множників не містить. що й потрібно було довести .
На підставі теореми Безу і слідства 5 можна довести наступні твердження:
1. Різниця однакових натуральних степенейна різницю їх підстав ділиться на всі сто:
ПустьP (x) = x n. P (a) = a n,
тоді x n-a n - різниця однакових натуральних ступенів.
P (x) - P (a) = x n - a n = (x - a) Q (x),
а це значить. що
(X n -a n) / (x-a) = Q (x), тобто різницю однакових натуральних ступенів на різницю їх підстав ділиться на всі сто. що й потрібно було довести .
(X n - a n) / (x - a) = x n-1 + ax n-2 + a 2 x n-3 + ... + a n-2 x + a n-1.
2. Різниця однакових парних ступенів на суму їх підстав ділиться на всі сто.
а це значить. що
x 2k - a 2k = (x + a) Q (x) або
тобто різницю однакових парних ступенів на суму їх підстав ділиться на всі сто. що й потрібно було довести .
(X 2k - a 2k) / (x + a) = x 2k-1 - ax 2k-2 + ... + a 2k-2 x + a 2k-1.
3. Різниця однакових непарних натуральних ступенів на суму їх підстав не ділиться.
По теоремі Безу при розподілі x 2 k +1 - a 2 k +1 на x + a = x- (-a) залишок дорівнює
R = P (-a) = (-a) 2k + 1 - a 2k + 1 = -2a 2k + 1
Т. к. Залишок при діленні НЕ дорівнює 0. то різниця одінаковихнечётних натуральних ступенів на суму їх підстав не ділиться. що й потрібно було довести .
4. Сума однакових непарних натуральних ступенів на суму їх підстав ділиться на всі сто.
P (x) - P (-a) = x 2k + 1 + a 2k + 1 = (x - (- a)) Q (x) =
а це значить. що
тобто сума однакових непарних натуральних ступенів на суму їх підстав ділиться на всі сто. що й потрібно було довести .
(X 2k + 1 + a 2k + 1) / (x + a) = x 2k - ax 2k-1 + ... - a 2k-1 x + a 2k.
5. Сума однакових парних натуральних ступенів на суму їх підстав не ділиться.
R = P (-a) = (-a) 2k + a 2k = 2a 2k.
Т. к. Залишок при діленні НЕ дорівнює 0. тосумма однакових парних натуральних ступенів на суму
їх підстав не ділиться, що й треба було довести.
Зупинимося на розгляді деяких випадків застосування теореми Безу до вирішення практичних завдань.
Знайти залишок від ділення многочлена
на двочлен x - 2.
По теоремі Безу
Знайти залишок від ділення многочлена