Доброго дня. Маю кілька суміжних питань по статистичній фізиці.
1. Чому вірна теорема про малих добавках для потенціалу?
Для інших потенціалів вона випливає з того, що вони - енергія плюс щось. Наприклад вільна енергія (і число частинок нехай постійним буде). Тому, якщо є малий приріст енергії E, викликане якимись зовнішніми параметрами, то така ж додасться до приросту F. Так що, якщо інші параметри, що задають потенціал, постійні (S і V для E, T і V для F), то збільшення і E і F будуть рівні.
Як теорема про малих добавках, що включає, співвідноситься з тим, що, скажімо, для нерелятівістского газу?
2. Чому поправка до, скажімо, енергії слабо вироджених газів має такий знак, який має, а не протилежний?
Нехай у нас нерелятивістський квазікласичних ферми (для визначеності) -Газо. Чесно порахуємо його енергію, висловивши щільність ймовірності стану через розподіл Фермі. Отримаємо інтеграл, підінтегральний вираз якого пропорційно
/ В наближенні майже больцманівського газу /.
Візьмемо інтеграл. отримаємо
.
Зауважимо, що другий член-поправка тут лише тому, що ми вважали газ не зовсім класичним - він є поправкою до класичним висловом для енергії, що дається першим членом (до речі, як би краще обгрунтувати коректність такого переходу? Є деякі сумніви - див. Питання нижче). А класичну енергію ідеального газу знаємо -.
Звідси можна отримати класичний хім. потенціал і підставити його в поправку. Отримаємо правильну величину останньої, але неправильний знак - ясно, що тиск, а значить і енергія, фермі-газу повинна зрости при виродження.
У ландавшіце правильний знак виходить обчисленням поправки до тиску, яка, з огляду на, з точністю до коефіцієнта, то ж, що і для енергії, і підстановкою цієї поправки в. Цей мінус виправляє неправильний знак. А далі по теоремі про малих добавках цю поправку можна і на інші величини. Малою добавкою тут вважаємо некласичний внесок.
3. Розглянемо поправки до термодинамічних величин сильно виродженого фермі-газу. Чому поправки до і F мають знак, відмінний від поправки до енергії (58 параграф Ландау і Лівшиця)?
/ Вже конкретно по 58 параграфу ландавшіцу /
Мені також виглядає вкрай підозрілим перехід до вільної енергії. Дійсно, формула (58.1) - обчислення інтеграла з енергією - виходить при малій, але відмінною від нуля температурі. Так що в такій формулі для. , а не . У поправці до замінити хім. потенціал на енергію Фермі правомірно, тому що поправки до хім. потенціалу так дадуть члени вищих порядків малості для. А в чому це собі дозволяють? Поправка до хім. потенціалу пропорційна, так що поправка до має той же порядок, що і другий член в (58.2). Чому ж за беруть при абсолютному нулі?
"Ступінь турботи про квантові" формально:
Коли ми вважаємо поправки (наприклад, у випадках вище - слабке виродження, пов'язане з квантової і кінцівку температури), ми, фактично, будуємо відображення з відрізка в "простір описів теорії", де 0 - то, що вміємо описувати, 1 - - то, що хочемо описати, і "розкладаємо в ряд Тейлора" по параметру. На ділі - якесь число в функції розподілу.
У першому прикладі вище це може бути множник перед другою експонентою (0 - немає квантових ефектів, 1 - є):
.
У другому - в функції розподілу. Цей приклад менш очевидний, тому що відразу провести розкладання по у функції розподілу не можна (ну, або з фізичних міркувань написати функцію Хевісайда плюс щось). Але ясно, що фізично відповідає опису при нулі температури. І розкладання по ми отримаємо лише при обчисленні інтеграла.
При такому підході инородность поправки очевидна. При обчисленні поправок до термодинамічних потенціалів треба пам'ятати, від чого вони залежать явно. Тобто якщо ми вважаємо поправку до енергії, то при зміні параметра хім. потенціал не можна вважати постійним, а при обчисленні поправки до омега-потенціалу можна (і потрібно!).
Ця тонкість мене і бентежила: інтеграл вважаємо один і той же, але коли інтерпретуємо його як інтеграл для омега-потенціалу про зміну \ mu забуваємо, а коли для енергії - змушені згадати. Фактично, це перефразування зауваження про різницю умов варіації.
Можна і так на це подивитися. Є функція. У разі вище,,. Розкладаємо складну функцію по:
.
Бажання замість в еквівалентно бажанням в першому члені правої частини рівності замість. Ця еквівалентність була не очевидна поки не стало зрозуміло "з якого параметру розкладаємо теорію".
