Р і ш е н і е. Запишемо його в сполученої формі, обчисливши;
Нехай змінюється в проміжку. Порівняємо два рівняння:
Тут і, причому. Перше з рівнянь можна представити у вигляді:
Це рівняння Ейлера. Приватні рішення шукаємо у вигляді:
.
Підставляємо в рівняння. Тоді отримуємо характеристичне рівняння:
.
Поклавши, отримаємо. Загальне рішення
.
Якщо візьмемо приватне рішення, то воно має нескінченне число нулів в точках: тоді, в силу теореми порівняння між двома послідовними нулями розглянутого рівняння (при), буде перебувати хоча б один нуль кожного рішення рівняння:
Про т в е т: кожне рішення рівняння (12.48) має нескінченне число коренів на інтервалі.
12.2 Поняття про крайових задачах
Завданням Коші для диференціального рівняння називають задачу знаходження його приватного рішення, що задовольняє заданим початковим умовам. Але при вирішенні багатьох фізичних задач (коливання струни, поширення тепла в стержні, дифузії речовин і т.д.) знайти рішення диференціального рівняння тільки на інтервалі і при цьому повинні виконуватися так звані крайові (граничні) умови, які задаються не в одній точці ( як в завданні Коші), а на кінцях відрізка. Завдання знаходження рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим граничним умовам, називається крайової завданням.
Розглянемо постановку крайових задач для деяких лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. З теорії лінійних диференціальних рівнянь відомо, що рівняння:
де - безперервні на функції, має спільне рішення виду:
Функції і - певні на і лінійно незалежні на цьому відрізку приватні рішення відповідного однорідного рівняння; - будь-яка приватна рішення неоднорідного рівняння (12.49); - довільні постійні.
Крайова задача для рівняння (12.49) в загальному випадку формулюється так: знайти на рішення цього рівняння, що задовольняють заданим граничним умовам. При цьому розглядаються такі граничні умови:
1) (умови першого типу).
Геометрично це означає, що потрібно знайти інтегральну криву диференціального рівняння (26) проходить через дані точки і.
2) (умови другого типу).
Геометрично це означає відшукання інтегральної кривої рівняння (12.49), яка б перетинала прямі і під заданими кутами,.
Ці умови можуть бути представлені також у формі відповідних лінійних комбінацій:
визначають завдання зі змішаними граничними умовами, де - задані числа; при цьому в кожній з пар і, і хоча б одне з чисел не дорівнює нулю.
.
Геометричний сенс крайової задачі з останніми крайовими умовами: побудувати інтегральну криву рівняння (12.49), яка проходила б через точку і перетинала б пряму під кутом.
3) - обмежена величина при і (умови третього типу).
Серед крайових задач істотне значення мають однорідні крайові задачі, з якими пов'язано, зокрема, дослідження власних режимів руху різних фізичних систем.
Однорідні крайові задачі - це завдання на відшукання рішень однорідних лінійних диференціальних рівнянь при однорідних граничних умовах.
Граничні умови називаються однорідними, якщо з того факту, що функції (приватні рішення задачі) задовольняють цим умовам, слід, що будь-яка їх лінійна комбінація також задовольняє тими самими умовами.
Зокрема, крайові умови (12.51) будуть однорідними при. Очевидно, що таким умовам задовольняє функція, яка в силу цього є рішенням однорідної крайової задачі. Однак, тривіальне рішення рідко цікавить дослідника і найчастіше шукають не- нульові рішення. Відзначимо, що кожна однорідна крайова задача може або не мати ненульових рішень взагалі, або має силу-силенну. Ця особливість крайових задач вимагає такої їх постановки, яка забезпечує існування, а при необхідності і єдність розв'язку.
Розглянемо приклад, який має цілком певний прикладної сенс.
П р и м і р 1: Знайти рішення диференціального рівняння
задовольняють крайовим умовам