Згортка щільності розподілу і її нормальна апроксимація
Збіжність до нормального закону
нехай # 958; 1. # 958; 2. - незалежні і однаково розподілені випадкові величини, що мають математичне сподівання a і кінцеву дисперсію σ 2> 0. Розглянемо суми Sn = # 958; 1 +. + # 958; n. Відомо, що в цьому випадку може бути застосована центральна гранична теорема та нормовані суми (Sn - ESn) / (σn 1/2) сходяться з розподілу до нормального закону N (0, 1).
Якщо вихідні випадкові величини (# 958; n) мають обмежену щільність p (x), то справедливий сильніший результат, званий локальної центральною граничною теоремою. який стверджує, що щільності сум Sn близькі до щільності нормального розподілу N (na. n σ 2).
Згортка щільності розподілів
Якщо дві незалежні випадкові величини # 958; і # 951; мають щільності розподілу p # 958; (X) і p # 951; (X) відповідно, то щільність розподілу суми # 958; + # 951; дорівнює p # 958; + # 951; (X) = p # 958; (X) ∗ p # 951; (X). Таким чином, за допомогою згортки можна записати щільності величин Sn.
Ілюстрація локальної центральної граничної теореми
Розглянемо випадкові величини (# 958; n), що мають рівномірний розподіл на відрізку [0, 1]. Тоді щільність p (x) дорівнює 1 при x∈ [0, 1] і 0 при x∉ [0, 1], математичне очікування a = 1/2 і дисперсія σ = 1/12.
В цьому випадку інтеграли у формулі згортки можна брати тільки по відрізку [0, 1], і їх можна послідовно обчислити при n = 1, 2, 3. Густині pSn (x) будуть відрізнятися від нуля тільки на відрізку [0, n] .
Нижче наведена ілюстрація досить швидкого зближення послідовності щільності pSn (x) і щільності нормального закону N (n / 2, n / 12).
Нормальна апроксимація Число доданків: + 1 - 1 Автомасштаб:
Графік згортки розподілів
Графік помилки апроксимації