Теорія ймовірностей, математична статистики та випадкові процеси
Методичні вказівки і зразки рішень для виконання контрольних завдань студентами заочного відділення.
1. Імовірність правильного оформлення рахунку на підприємстві дорівнює 0,95. Під час перевірки були взяті дві секунди. Яка ймовірність того, що тільки один з них оформлений правильно?
Треба знайти ймовірність події А =.
1. У взуттєву майстерню для ремонту приносять чоботи і туфлі в співвідношенні 2: 3. Імовірність якісного ремонту для чобіт дорівнює 0,9, а для туфель - 0,85. Для перевірки якості ремонту взята навмання пара взуття. Яка ймовірність того, що ця пара відремонтована якісно?
. (Формула повної ймовірності).
Дискретна величина X може приймати тільки два значення x1 і x2, причому x1 Рішення: Сума ймовірностей всіх можливих значень Х дорівнює одиниці, тому ймовірність р2 того, що Х прийме значення х2, дорівнює р2 = 1-0,6 = 0,4. Запишемо закон розподілу дискретної випадкової величини Х. Локальна теорема Муавра - Лапласа. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія А відбудеться k раз в n незалежних випробуваннях при досить великому числі n, приблизно дорівнює, де - функція Гаусса і. На практиці формула Муавра - Лапласа використовується за умови. Є таблиці в яких поміщені значення функції: - парна функція. Знайти ймовірність того, що подія А настане рівно 80 разів в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,2. Рішення: за умовою р = 0,2; n = 400; q = 1-р = 0,8 Скористаємося Локальної теоремою Муавра - Лапласа. По таблиці знаходимо. Шукана ймовірність. Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що імовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести (нічиї до уваги не беруться)? Рішення. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу, отже, ймовірність програшу так само дорівнює. Так як у всіх партіях ймовірність постійна і байдужа, в якій послідовності будуть виграні партії, то може бути застосована формула Бернуллі , де - ймовірність того, що при n випробуваннях подія настане k раз. Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні: Знайдемо ймовірність того, що будуть виграні три партії з шести: Так як <, то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из шести. Імовірність того, що навмання взятий виріб відповідає стандарту, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 500 + 10хN перевірених виробів стандартними виявляться: а) рівно 470 + 10хN виробів, б) не більше 470 + 10хN і не менше 395 + 10хN виробів, в) не більше 394 + 10хN виробів. В деякій місцевості з кожних 100 сімей 80 мають холодильники. Знайти ймовірність того, що: а) з 400 сімей 300 мають холодильники; б) з 400 сімей від 300 до 360 (включно) мають холодильники; в) з 400 сімей не більше 310 сімей мають холодильники; Рішення. а) Імовірність того, що сім'я має холодильник, дорівнює. Так як n = 100 досить велике (умова), то застосовуємо локальну формулу Муавра-Лапласа. б) Використовуємо інтегральну теорему Муавра - Лапласа. Якщо ймовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що число m настання події А в n незалежних випробуваннях укладено в межах від a до b. при досить великому числі т наближено дорівнює , де - функція Лапласа; в) Необхідно знайти. Дана функція розподілу випадкової величини Побудувати графік функції розподілу випадкової величини і знайти щільність розподілу f (x), математичне сподівання М (Х) і дисперсія D (Х). Побудуємо графік функції розподілу Знайдемо щільність розподілу: Обчислимо математичне сподівання Обчислимо дисперсію випадкової величини Х - D (Х): Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (6; 8), якщо Х розподілена нормально. де - щільність нормального розподілу і - Функція Лапласа - табульований функція.