Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
Можливість спільного появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
Слідство: Імовірність появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій.
Приклад. Є три ящика в кожному з яких по куль. У першому ящику червоних куль, в другому -, в третьому - червоних куль. З кожного ящика навмання виймають по одній кулі. Знайти ймовірність того, що всі три вийняті кулі виявляться червоними.
Рішення. Позначимо подію, яка полягає в тому, що всі три вийняті кулі виявляться червоними. Подія відбудеться якщо і з I ящика витягнуть червоний куля (подія), і з II - червоний (подія), і з III - червоний (подія), тобто - твір подій; і.
Імовірність того, що з I ящика узятий червоний куля:
Імовірність того, що з II ящика узятий червоний куля:
Імовірність того, що з III ящика узятий червоний куля:
Оскільки події; і незалежні в сукупності, то шукана ймовірність:
Приклад. Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрільця, для другого стрілка. Кожен стрілець зробив по одному пострілу. Знайти ймовірності наступних подій:
Обидва стрілка потраплять в ціль;
Обидва стрілка промахнутися;
Тільки один стрілець влучить у ціль;
Хоча б один влучить у ціль.
Рішення. 1) Позначимо подію, яка полягає в тому, що обидва стрілка потраплять в ціль. Подія відбудеться, якщо і перший стрілок влучить у ціль, і другий потрапить.
Використовуємо теорему множення ймовірностей незалежних подій:
2) Позначимо подію, яка полягає в тому, що обидва стрілка промахнутися. Подія відбудеться, якщо і перший стрілок промахнеться, і другий промахнеться.
Імовірність промаху для першого стрільця.
Імовірність промаху для другого стрілка.
3) Позначимо подію, яка полягає в тому, що тільки один стрілець влучить у ціль. Подія відбудеться, якщо: (перший стрілок влучить у ціль і другий промахнеться) або (перший стрілок промахнеться в ціль і другий потрапить).
4) Подія, хоча б один стрілець влучить у ціль, є протилежним події - обидва промахнуться:
Нехай події і залежні.
Умовною ймовірністю називають ймовірність події, обчислену в припущенні, що подія вже наступило.
Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Можливість спільного появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другого:
Слідство: Можливість спільного появи кількох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірності кожного наступного події обчислюються в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися.
де - ймовірність події, обчислена в припущенні, що події,, ..., настали.
Приклад. В ящику куль: синіх і жовтих. Навмання з ящика вийняли одну кулю, а потім другий (Не повертаючи їх назад). Знайти ймовірність того, що перший з узятих куль синій, а другий жовтий.
Рішення. Подія - перший узятий кулю синій. Імовірність події:.
Подія - другий узятий кулю жовтий. Імовірність події, обчислена в припущенні, що перший шар синій (тобто умовна ймовірність) дорівнює:.
Шукана ймовірність по теоремі множення ймовірностей залежних подій дорівнює:
Формула повної ймовірності. Формула Бейеса
Нехай подія може наступити за умови появи однієї з несумісних подій,, ...,, які утворюють повну групу. Нехай відомі ймовірності цих подій і умовні ймовірності,, ..., події. В поставлених умовах ймовірність події можна знайти за формулою:
формулу називають формулою повної ймовірності;
події,, ..., називають гіпотезами.
Приклад 1. На контроль надходять деталі з двох верстатів. Продуктивність верстатів неоднакова. На першому верстаті виготовляють всіх деталей, на другому -. Імовірність шлюбу на першому верстаті, на другому -. Знайти ймовірність того, що надійшла на контроль деталь бракована.
Рішення. Подія - надійшла на контроль деталь бракована.
і - події означають, що деталь зроблена відповідно на першому і другому верстаті.
Тоді за умовою задачі:
Нехай подія може наступити за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез),, ...,, які утворюють повну групу. Якщо подія вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулами Бейеса:
де - знаходять за формулою повної ймовірності.
Приклад 2. В умовах прикладу 1, перевірена деталь виявилася бракованою. Визначити ймовірність того, що вона була виготовлена на першому верстаті.
Рішення. Шукана ймовірність -ймовірність, що деталь виготовлена на першому верстаті, за умови що вже відомо, що деталь бракована.
За формулою Бейеса:
Схожі роботи:
Теоріявероятності і математіческаястатістіка (7)
Булдик Г.М. Теоріявероятностей і математіческаястатістіка. - Мн. Вища школа, 1989. Венцель Е.С. Теорія імовірності. - М. Наука, 1969. Кремер Н.Ш. Теоріявероятностей і математіческаястатістіка. - М. ЮНИТИ.
Теоріявероятності і математіческаястатістіка (6)
і кредит »Контрольна робота Предмет:« Теоріявероятності і математіческаястатістіка »Варіант №8 Виконала: № залікової книжки. розподілу f (x); b) ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (a, b); с) математичне сподівання і дисперсію цієї.
Дискретна математика. Теоріявероятностей і математіческаястатістіка
ТЕОРІЯВЕРОЯТНОСТІ І МАТЕМАТІЧЕСКАЯСТАТІСТІКА 4.1. Імовірність випадкової події ................ ................... 17 4.2. Умовна ймовірність. Теореми додавання та множення ймовірностей 22 4.3. Повна ймовірність. Формула.
Методи теоріівероятностей і математіческойстатістікі в задачах дослідження стилістичних осо
цитованої літератури: «ТЕОРІЯВЕРОЯТНОСТЕЙ І МАТЕМАТІЧЕСКАЯСТАТІСТІКА». Основна література: А. А. Боровков. Теорія імовірності. М. Наука, 1988. Б. А. Севастьянов. Курс теоріівероятностей і математіческойстатістікі. М. Наука.
Теоріявероятності (10)
ТЕОРІЯВЕРОЯТНОСТЕЙ 4 5 1.1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ 5 1.2. ТЕОРЕМИ СКЛАДАННЯ І МНОЖЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ 8 1.3. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ЗАВДАННЯ 60 1.ТЕОРІЯВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ Подією називається.