подільність чисел
Одним з основних понять в математиці є подільність цілих чисел.
Якщо для деякого цілого числа і цілого числа cуществует таке ціле число, що, то кажуть, що число ділиться на або що ділить. При цьому використовують наступну термінологію:
- число є дільником числа;
- делімоекратно числу.
Для позначення подільності використовують спеціальний символ - три вертикальні точки. Запис означає, що ділиться на або що число кратно.
Хоча властивість подільності є певним на всьому безлічі цілих чисел, зазвичай розглядається лише подільність цілих невід'ємних чисел. Надалі ми також будемо розглядати подільність лише для цілих невід'ємних чисел.
Властивості подільності і пов'язані визначення
Розподіл із залишком
Для двох будь-яких натуральних чисел і знайдуться такі цілі невід'ємні числа і, що.
Число називають залишком від ділення на. Якщо то .
Найбільший спільний дільник
Найбільший спільний дільник двох чисел і - це найбільше число, на яке обидва числа і діляться без залишку. Для оозначенія найбільшого загального дільника прийнято використовувати позначення НСД. В англомовній літературі прийнято також використовувати позначення.
Найбільший спільний дільник НСД існує і однозначно визначено, якщо хоча б одне з чисел і не дорівнює нулю.
Для обчислення НСД можна використовувати алгоритм Евкліда.
Найменше спільне кратне
Найменше спільне кратне двох чисел і - це таке найменше натуральне число, яке ділиться на і без залишку. Для позначення найменшого спільного кратного використовують позначення НОК або, як це прийнято в англомовній літературі,.
Якщо відомий НОД, який можна визначити, використовуючи алгоритм Евкліда, то знайти НОК особливого праці не складе, оскільки обидві ці величини пов'язані співвідношенням:
ознаки подільності
Ознаками подільності називають алгоритми, що дозволяють визначити, чи є дане число кратним іншому числу.
Уявімо відомі ознаки подільності в вигляді таблиці:
Ознака подільності на 2
Число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.
Ознака подільності на 3
Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його всіх цифр ділиться на 3.
Ознака подільності на 4
Число ділиться на 4 тільки тоді, коли дві його останні цифри - нулі або складають число, яке ділиться на 4.
Ознака подільності на 5
Число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли остання цифра ділиться на 5, т. Е. Якщо вона 0 або 5.
Ознака подільності на 6
Число ділиться на 6 тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3 (тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3). Інша ознака подільності: число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли учетверённое число десятків, складене з числом одиниць поділяється на 6.
Ознака подільності на 7
Ознака 1. число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли утроенное число десятків, складене з числом одиниць, ділиться на 7.
Ознака 2. число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли модуль алгебраїчної суми чисел, що утворюють непарні групи по три цифри (починаючи з одиниць), взятих зі знаком «+», і парних зі знаком «-» ділиться на 7.
Ознака подільності на 8
Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число, утворене трьома його останніми цифрами, ділиться на 8. тризначним числом ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число одиниць, складене з подвоєним числом десятків і учетверённим числом сотень, ділиться на 8.
Ознака подільності на 9
Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
Ознака подільності на 10
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
Ознаки подільності на 11
Ознака 1: число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли модуль різниці між сумою цифр, що займають непарні позиції, і сумою цифр, що займають парні місця ділиться на 11.
Ознака 2: число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли на 11 ділиться сума чисел, що утворюють групи по дві цифри (починаючи з одиниць).
Ознака подільності на 13
Число ділиться на 13 якщо сума числа десятків з учетверенное числом одиниць поділяється на 13.
Ознака подільності на 17
Число ділиться на 17 якщо модуль різниці числа десятків і п'ятикратного числа одиниць поділяється на 17.
Ознака подільності на 19
Число ділиться на 19 тоді і тільки тоді, коли число десятків, складене з подвоєним числом одиниць, ділиться на 19.
Ознака подільності на 20
Число ділиться на 20 тоді і тільки тоді, коли число, утворене двома останніми цифрами, ділиться на 20.
Ознаки подільності на 23
Ознака 1: число ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли число сотень, складене з потроєною числом, утвореним двома останніми цифрами, ділиться на 23.
Ознака 2: число ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли число десятків, складене з семиразовим числом одиниць, ділиться на 23.
Ознака 3: число ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли число сотень, складене з семиразовим числом десятків і потрійним числом одиниць, ділиться на 23.
Ознака подільності на 25
Число ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли дві його останні цифри становлять число, яке ділиться на 25.
Ознака подільності на 27
Число ділиться на 27 тоді і тільки тоді, коли на 27 ділиться сума чисел, що утворюють групи по три цифри (починаючи з одиниць).
Ознака подільності на 29
Число ділиться на 29 тоді і тільки тоді, коли число десятків, складене з потроєною числом одиниць, ділиться на 29.
Ознака подільності на 30
Число ділиться на 30 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на 0 і сума всіх цифр ділиться на 3.
Ознака подільності на 31
Число ділиться на 31 тоді і тільки тоді, коли модуль різниці числа десятків і потроєного числа одиниць поділяється на 31.
Ознака подільності на 37
Ознака 1: число ділиться на 37 тоді і тільки тоді, коли при розбиванні числа на групи по три цифри (починаючи з одиниць) сума цих груп кратна 37.
Ознака 2: число ділиться на 37 тоді і тільки тоді, коли на 37 ділиться модуль потроєного числа сотень, складеного з учетверённим числом десятків, за вирахуванням числа одиниць, помноженого на сім.
Ознака 3: число ділиться на 37 тоді і тільки тоді, коли на 37 ділиться модуль суми числа сотень з числом одиниць, помноженого на десять, за вирахуванням числа десятків, помноженого на 11.
Ознака подільності на 41
Ознака 1: число ділиться на 41 тоді і тільки тоді, коли модуль різниці числа десятків і чотириразового числа одиниць поділяється на 41.
Ознака 2: щоб перевірити, чи ділиться число на 41, його слід справа наліво розбити на межі по 5 цифр в кожній. Потім в кожній грані першу праворуч цифру помножити на 1, другу цифру помножити на 10, третю - на 18, четверту - на 16, п'яту - на 37 і всі отримані твори скласти. Якщо результат буде ділитися на 41, тоді і тільки тоді саме число ділитиметься на 41.
Ознака подільності на 50
Число ділиться на 50 тоді і тільки тоді, коли число, утворене двома його молодшими десятковими цифрами, ділиться на 50.
Ознака подільності на 59
Число ділиться на 59 тоді і тільки тоді, коли число десятків, складене з числом одиниць, помножене на 6, ділиться на 59.
Ознака подільності на 79
Число ділиться на 79 тоді і тільки тоді, коли число десятків, складене з числом одиниць, помножене на 8, ділиться на 79.
Ознака подільності на 99
Число ділиться на 99 тоді і тільки тоді, коли на 99 ділиться сума чисел, що утворюють групи по дві цифри (починаючи з одиниць).
Ознака подільності на 101
Число ділиться на 101 тоді і тільки тоді, коли модуль алгебраїчної суми чисел, що утворюють непарні групи по дві цифри (починаючи з одиниць), взятих зі знаком «+», і парних зі знаком «-» ділиться на 101.