Горизонтальна і фронтальна проекції (а і а ¢) розташовані на одному перпендикуляр до осі х - на лінії зв'язку аа ¢. фронтальна і профільна проекції (а ¢ і а ¢¢) - на одному перпендикуляр до осі z - на лінії зв'язку а ¢ а ¢¢.
Побудова профільної проекції по фронтальній і горизонтальній показано на рис. 12. Можна скористатися дугою кола, проведеної з точки О. або биссектрисой кута уоу.
Відстань точки А від площини Н вимірюється на кресленні відрізком а ¢ ах або відрізком а ¢¢ ау. відстань від V - відрізком аах або відрізком а ¢¢ АZ. відстань від W - відрізком ААУ або відрізком а ¢ АZ. Тому проекцію а ¢¢ можна побудувати і так, як показано на рис. 13, т. Е. Відкладаючи на лінії зв'язку проекцій а ¢ і а ¢¢ від осі z вправо відрізок, рівний аах. Така побудова переважно.
Відстань від точки А до осі х (рис. 14) вимірюється в просторі відрізком Аах. Але відрізок Аах дорівнює відрізку а ¢¢ Про. Тому для визначення відстані від точки А до осі х на кресленні треба взяти відрізок lх.
Аналогічно, відстань від точки А до осі у виражається відрізком l в і відстань від точки А до осі z - відрізком lz.
Отже, відстані точки від площин проекцій і від осей проекцій можуть бути виміряні безпосередньо, як певні відрізки на кресленні. При цьому повинен бути врахований його масштаб.
3. ортогональні проекції І СИСТЕМА
Точка в просторі може бути визначена не тільки її проекціями, але і прямокутними (декартовими) координатами.
Координати точки - числа, що виражають її відстані від трьох взаємно перпендикулярних площин, званих площинами координат.
Прийнявши осі і площини координат за осі і площини проекцій, легко помітити, що абсциса точки (х) - це відстань її від площини проекцій W. ордината (у) - відстань від площини проекцій V і аппликата (z) - відстань від площини проекцій Н .
Кожна проекція точки визначається двома координатами (рис. 12): фронтальна - абсциссой х і аплікатою z. горизонтальна - абсциссой х і ординатою у. профільна - ординатою у і аплікатою z. Отже, за координатами точки може бути побудований і її епюр.
Наприклад, дана точка А (7; 3; 5), цей запис означає, що точка А визначається координатами х = 7, у = 3, z = 5. Якщо масштаб для побудови креслення заданий або вибраний, то (рис. 15) відкладають на осі х від деякої точки О відрізок ОАХ. рівний 7 одиницям, і на перпендикуляр до цієї осі, проведеному з точки ах. відрізки аха = 3 од. і аха ¢ = 5 од. Отримуємо проекції а й а ¢. Для побудови достатньо взяти тільки вісь х.
Беручи осі проекцій за осі координат, можна знайти координати точки за даними її проекція.
4. ТОЧКИ В четвертому І Октант ПРОСТОРУ
Як було сказано раніше, площині Н і V при перетині утворюють чотири двогранні кута, їх називають квадрантами або чвертями простору. На рис. 16 вказано прийнятий порядок відліку чвертей. Ось проекцій ділить кожну з площин Н і V на півплощині позитивну і негативну.
Положення проекцій точок на епюрі залежить від того, в якій чверті знаходиться дана точка. Так, якщо точка В розташована в другій чверті
(Рис. 17), то після суміщення площин обидві проекції виявляться лежачими над віссю х (рис. 18).
Якщо точка С знаходиться в третій чверті, то її горизонтальна проекція після суміщення площин виявиться над віссю, а фронтальна - під віссю х. Нарешті, якщо точка D розташована в четвертій чверті, то обидві проекції її виявляться під віссю х. На рис. 17 і 18 показані точки М і N. лежать на площинах проекцій. При такому положенні точка збігається з однією зі своїх проекцій, інша ж проекція її, виявляється лежить на осі х.
На рис. 19 в системі Н. V зображені точки А і В. розташовані симетрично відносно площини Н. На кресленні (рис. 19, справа) горизонтальні проекції таких точок збігаються одна з одною (а º в), фронтальні ж проекції знаходяться на рівних відстанях від осі проекцій (а ¢ ах = в ¢ вх).
На рис. 20 показана просторова модель трьох взаємно перпендикулярних площин проекцій, що поділяють простір на вісім тригранних кутів - октантів.
Для отримання креслення, з просторової моделі (рис. 20), сумісний площині проекцій Н і W з площиною V. При цьому співпадуть позитивні і негативні напрямки осей х. y і z.
Побудова трьох проекцій точок, розташованих в різних октантах, можна виробляти в тому ж порядку, як і для точок I октанта.
На рис. 21 показані побудови проекцій точок А. В. С і D. розташованих в октантах II. III. IV і VII відповідно.
Точки можуть перебувати в биссекторной площинах, т. Е. В площинах, які ділять кути простору навпіл (рис. 22).
Якщо точка належить биссекторной площині, то її горизонтальна і фронтальна проекції рівновіддалені від осі х.
На рис. 22 показані точки А і D належать першої биссекторной площині, що ділить перший, третій, п'ятий і сьомий кути простору навпіл. Точки В і С належать другий биссекторной площині, що ділить другий, четвертий, шостий і восьмий кут простору навпіл.
5. ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ
Перш ніж приступити до вирішення завдань, необхідно вивчити матеріал по навчальній літературі і відповісти на питання, поставлені до даної роботи.
Кожен студент отримує окремий варіант завдання, в який входить вирішення трьох завдань. Приклад вирішення завдань дано при застосуванні. Варіант призначається викладачем. Виконане завдання здається викладачеві у встановлені терміни.
Графічна робота виконується в олівці на аркуші формату А3. Зображення повинні бути розташовані на полі креслення раціонально. Всі проміжні побудови, виконані тонкими лініями, залишаються на аркуші для перевірки викладачем.
Внутрішня рамка креслення проводиться на відстані 20 мм від його лівого краю і по 5 мм з трьох інших сторін.
Написи, а також цифрові і буквені позначення повинні бути виконані стандартним шрифтом № 5 по ГОСТ 2.304-81. Товщина і тип лінії повинні відповідати ГОСТ 2.303-68.
Завдання № 1. За заданими координатами х. y. z точок А. В. С. D. Е показати їх положення на малюнку просторової моделі координатних площин проекцій. Назвати кути простору, в яких розташовуються задані точки. Назвати точки, однаково віддалені від координатних площин.
Завдання № 2. На епюрах побудувати три ортогональні проекції точок А. В. С. D. Е.
Завдання № 3. Побудувати ортогональні проекції точок А. В. С. D. Е. F за заданими координатами і вказати кути простору в яких вони знаходяться.
Побудувати проекції точок А1 і В1. симетричних даними точкам А і В відносно площини проекцій Н. і проекції точок С1 і D1. симетричних даними точкам С і D відносно площини проекцій V.
Вказати який биссекторной площині належать точки Е і F.
Дані до задачі № 1, 2
Контрольні питання ДО РОБОТИ
1. Як будують центральну проекцію точки?
2. У чому полягає спосіб проектування, званий паралельним?
3. Що таке епюр Монжа?
4. Що таке система Н, V і Н, V, W. Як називають площині проекції Н, V і W?
5. Що таке прямокутні координати точки і в якій послідовності їх записують в позначенні точки?
6. Які координати визначають горизонтальну проекцію точки, фронтальну, профільну?
7. Який порядок знаходження за двома заданими проекціями точки її третьої проекції?
8. Що означає рівність нулю якої-небудь однієї координати точки (наприклад, y = о) або двох координат (наприклад, х = 0 і z = 0)?
9. Що таке чверті і октанти?
10. У якому октанте значення координат по всіх осях негативні?
2. Громов геометрія. - М. Вища. шк. 1973. - 416 с.
3. Фролов геометрія. - М. Машинобудування, 1983. -
239 с.
Приклади розв'язання типових задач
1. Центральні, паралельні і ортогональні проекції ........................ ..3
1.1. Центральне проектування ................................................... ..3
1.2. Паралельне проектування ................................................... 4
1.3. Ортогональное (прямокутне) проектування ........................... .5
2. Проектування точки на дві і три взаємно перпендикулярні ..................
2.1. Точка в системі двох площин проекцій Н і V ........................ ..5
2.2. Точка в системі трьох площин проекцій Н, V і W ..................... .8
3. Ортогональні проекції і система прямокутних координат ............. 11
4. Точки в чвертях і октантах простору ....................................... .12
5. Вказівки до виконання завдання .................................................... 16
Контрольні питання до роботи .......................................................... 20
Укладач: НАДІЯ ВАСИЛІВНА БЕРЕЖНА
ТОЧКА В четвертому І Октант
до виконання семестрової роботи
Підписано до друку Формат 60 × 84 1/16.
Папір споживча. Гарнітура "Times".
Ум. печ. л. 3, 12. Ум. авт. л. 2, 75.
Тираж 150 прим. Замовлення № 56
Волгоградський державний технічний університет
400131 Волгоград, просп. ім. 28.
Волгоградського державного технічного університету
400131 Волгоград, вул. Радянська, 35.