У квантовій механіці хвильова функція - це комплекснозначная функція координат і часу така, що якщо взяти її за модулем (в сенсі комплексних чисел) і звести в квадрат, вийде щільність ймовірності виявлення системи в стані з даними координатами. У конкретних випадках її можна знайти, вирішуючи рівняння Шредінгера, але тут нас це не цікавить, нам тільки важливо, що для опису системи частинок достатньо однієї-єдиної функції.
Для простоти раасмотрім конкретний випадок - будемо описувати дві частинки, положення кожної задавати однією координатою. Тоді властивість антисиметричних означає, що якщо P - значення хвильової функції для частинки 1 в точці x1. а для частки 2 - в точці x2. то якщо обміняти частки місцями і поставити 1 на x2. 2 - на x1. то значення функції дорівнюватиме -P. Тобто при перестановці частинок місцями хвильова функція змінює знак. Іноді це не особливо важливо, згадайте, що нас зазвичай цікавить не сама ВФ, а ймовірність знайти частинку в конкретній точці, тобто квадрат модуля хвильової функції, і горезвісний мінус просто знищиться. Але в деяких найважливіших випадках він визначає взаємодію частинок. Є в природі та інші частинки - бозони, для яких хвильова функція симетрична, і обмін частками проходить абсолютно безболісно.
Отже, заборона Паулі. Яка ймовірність ситуації, коли обидві наші частки 1 і 2 знаходяться в одній точці x0. В цьому випадку перестановка ні на що не вплине, адже нас знову ж буде цікавити ситуація "1 на x0,2 на x0", і виявиться, що P = -P. що можливо тільки при P = 0. тобто ймовірність такого стану - нуль! Ось і весь заборона. Це здається тривіальним, однак має далекосяжні наслідки, наприклад, електрони в атомі розташовуються не скопом на найвигіднішому енергетичному рівні, а витісняються на позиції з більшою енергією, що, звичайно, впливає на його властивості.
Узагальнюючи наш простий випадок, можна сказати, що ферміони не можуть ділити квантовий стан з однаковими координатами. Потрібно зауважити, що координати тут не обов'язково просторові, це також можуть бути чисто квантові параметри, наприклад, спин. Добре відомо, що в одному енергетичному стані в атомі можуть перебувати два електрони з протилежно спрямованими спинами. Більше - ніяк, адже тоді декільком електронам довелося б бути повністю ідентичними як в сенсі положення в просторі, так і в сенсі квантових параметрів.