уявна одиниця

В математиці, фізиці уявна одиниця позначається як латинська $i$ або $j$. Вона дозволяє розширити поле дійсних чисел до поля комплексних чисел. Точне визначення залежить від способу розширення.

Причиною введення уявної одиниці є те, що не кожне поліноміальний рівняння $f\; (x)\; =\; 0$ з речовими коефіцієнтами має рішення в поле дійсних чисел. Так, рівняння $x\; ^\; 2\; +\; 1\; =\; 0$ не має речових коренів. Однак виявляється, що будь-який поліноміальний рівняння з комплексними коефіцієнтами має комплексне рішення - «Основна теорема алгебри».

Історично уявна одиниця спочатку була введена для вирішення речового кубічного рівняння. нерідко, при наявності трьох речових коренів, для отримання двох з них формула Кардано вимагала брати кубічний корінь в комплексних числах.

Твердження, що уявна одиниця - це «квадратний корінь з -1», неточно: адже «-1» має два квадратних кореня, один з яких можна позначити як «i», а інший як «-i». Який саме корінь прийняти за уявну одиницю - неважливо: все рівності збережуть силу при одночасній заміні всіх «i» на «-i» і «-i» на «i». Однак через цю двозначності, щоб уникнути помилкових викладок, не слід застосовувати позначення для $i$ через радикал (як $\backslash \; sqrt$).

визначення

Уявна одиниця - це число, квадрат якого дорівнює -1. Тобто $i$ - це одне з рішень рівняння

$x\; ^\; 2\; +\; 1\; =\; 0,$ або $x\; ^\; 2\; =\; -1.$

І тоді його другим рішенням рівняння буде $-i$, що перевіряється підстановкою.

Ступеня уявної одиниці

ступеня $i$ повторюються в циклі:

$\backslash \; ldots$ $i\; ^\; =\; i$ $i\; ^\; =\; -1$ $i\; ^\; =\; -i$ $i\; ^\; 0\; =\; 1$ $i\; ^\; 1\; =\; i$ $i\; ^\; 2\; =\; -1$ $i\; ^\; 3\; =\; -i$ $i\; ^\; 4\; =\; 1$ $\backslash \; ldots$

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

$i\; ^\; =\; 1$ $i\; ^\; =\; i$ $i\; ^\; =\; -1$ $i\; ^\; =\; -i.$

де n - будь-яке ціле число.

число $i\; ^\; i$ є речовим.

$i!\; =\; \backslash \; Gamma\; (1\; +\; i)\; \backslash \; approx\; 0.4980\; -\; 0.1549i.$

Коріння кубічні з уявної одиниці (вершини трикутника)

В поле комплексних чисел корінь n-го ступеня має n рішень. На комплексній площині коріння з уявної одиниці знаходяться в вершинах правильного n-кутника. вписаного в коло з одиничним радіусом.

Це випливає з формули Муавра і того, що уявна одиниця може бути представлена ​​в тригонометричному вигляді:

Також коріння з уявної одиниці можуть бути представлені в показовому вигляді:

Інші уявні одиниці

У конструкції Келі - Діксона (або в алгебрах Кліффорда) «уявних одиниць розширення» може бути декілька, і / або їх квадрат може бути = "+ 1" або навіть = "0". Але в цьому випадку можуть виникати подільники нуля, є і інші властивості, відмінні від властивостей комплексного «i». Наприклад, в тілі кватернионов три антикоммутативність уявних одиниці, а також є нескінченно багато рішень рівняння «$x\; ^\; 2\; =\; -1$».

До питання про інтерпретацію та назві

Гаусс стверджував також, що якби величини 1, -1 і √-1 називалися відповідно не позитивною, негативною і уявною одиницею, а прямий, зворотної і побічної, то у людей не створювалося б враження, що з цими числами пов'язана якась похмура таємниця. За словами Гаусса, геометричне уявлення дає справжню метафізику уявних чисел у новому світлі. Саме Гаус ввів термін «комплексні числа» (на противагу «уявним числам» Декарта) і використовував для позначення √-1 символ i.

Моріс Клайн. «Математика. Втрата визначеності ». Глава VII. Нелогічне розвиток: серйозні труднощі на порозі XIX ст.

позначення

звичайне позначення $i$, але в електро- і радіотехніці уявну одиницю прийнято позначати $j$, щоб не плутати з позначенням миттєвої сили струму. $i\; =\; i\; (t)$.

Примітки

Схожі статті

• Уявна одиниця 1

• Одиниця переклад на англійську, приклади, транскрипція, вимова

• Міна, міра ваги і грошова одиниця - енциклопедія Брокгауза і Ефрона - що означає, опис, фото,