а) Маса плоскої пластинки змінної щільності.
Розглянемо тонку платівку, що розташовану на пло-кістки Оху і що займає область D. Товщину цієї платівки вважаємо настільки малою, що зміною щільності по товщині її можна знехтувати.
Поверхневою щільністю такої пластинки в даній точці називаються ється межа відносини маси площадки до її площі за умови, що майданчик стягується до даної точки.
Визначена таким чином поверхнева щільність буде залежати тільки від положення даної точки, т. Е. Бути функ-цією її координат:
Якби щільність була постійною (), то маса всієї платівки дорівнювала б, де S - площа пластинки. Знайдемо тепер масу неоднорідної пластинки, вважаючи, що її щільність є заданою функцією. Для цього розіб'ємо область, займану платівкою, на часткові області з площами (рис. 16). Вибираючи в кожної часткової області довільну точку, будемо вважати, що щільність у всіх точках часткової області постійна і дорівнює плотнос-тив вибраного пункту. Складемо наближене вираження для маси пластинки у вигляді інтег-ральної суми
(*)
Для точного вираження маси слід знайти межу суми (*) за умови та кожна часткова область стягується до точки. тоді
б) Статичні моменти і центр ваги пластинки.
Перейдемо тепер до обчислення статичних моментів даної пластинки відносно осей координат. Для цього зосередимо в точках маси відповідних чистячі-них областей і знайдемо статичні моменти отриманої сис-теми матеріальних точок:
Переходячи до межі при звичайних умовах і замінюючи інтегральні суми інтегралами, отримаємо
Знаходимо координати центру ваги:
Якщо пластинка однорідна, тобто то формули спрощуються:
де S - площа пластинки.
в) Моменти інерції пластинки.
Моментом інерції матеріальної точки Р з масою m відносно будь-якої осі називається добуток маси на квадрат відстані точки Р від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат абсолютно такий же, який ми застосовували для обчислення статичних моментів. Наведемо тому тільки остаточні результати, вважаючи, що:
Відзначимо ще, що інтеграл називається відцентровим моментом інерції; він позначається.
У механіці часто розглядають полярний момент інерції точки, що дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки - полюси. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат буде дорівнює
4. Обчислення площ і обсягів за допомогою подвійних інтегралів.
Як ми знаємо, обсяг V тіла, обмежений-ного поверхнею де - невід'ємна функ-ція, плоскостьюі циліндричною поверхнею, направ-ляющие для якої служить межа області D, а утворюють паралельні осі Oz, дорівнює подвійному інтегралу від функцііпо області D:
Приклад 1. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями x = 0, у = 0, х + у + z = 1, z = 0 (рис. 17).
Рішення. D - заштрихована на рис. 17 трикутна область в плоскостіОху, обмежена прямими x = 0, у = 0, x + y = 1. Розставляючи межі в подвійному інтегралі, обчислимо обсяг:
Отже, куб. одиниць.
Зауваження 1. Якщо тіло, обсяг якого шукається, ограни-чено зверху поверхнею а знизу-поверхнею, причому проекцією обох поверхонь на пло-скостьОху є область D, то обсяг V цього тіла дорівнює різниці обсягів двох "циліндричних" тел; перше з цих циліндричних тіл має нижнім підставою область D, а верхнім - поверхня друге тіло має нижнім підставою також область D, а верхнім - поверхня (рис.18).
Тому обсяг V дорівнює різниці двох подвійних інтегралів:
Легко, далі, довести, що формула (1) вірна не тільки в тому випадку, коли інеотріцательни, але і тоді, когдаі- будь безперервні функції, що задовольняють співвідношенню
Зауваження 2. Якщо в області D функція змінює знак, то розбиваємо область на дві частини: 1) область D1 де 2) область D2, де. Припустимо, що області D1 і D2 такі, що подвійні інтеграли по цим обла-ня існують. Тоді інтеграл по області D1 буде поклади-Телень і буде дорівнює обсягу тіла, що лежить вище площині Оху. Інтеграл по D2 буде від'ємний і по абсолютній величині дорівнює обсягу тіла, що лежить нижче площини Оху, Отже, інтеграл по D буде висловлювати раз-ність відповідних обсягів.
б) Обчислення площі плоскої області.
Якщо ми з-ставимо інтегральну суму для функції по області D, то ця сума буде дорівнює площа-ді S,
при будь-якому способі розбиття. Пере-ходячи до межі в правій частині дорівнює-ства, отримаємо
Якщо область D правильна. то площа виразиться дворазовим інтегралом
Виробляючи інтегрування в дужках, маємо, очевидно,
Приклад 2. Обчислити площу області, обмеженої кривими
Рішення. Визначимо точки перетину даних кривих (Рис.19). В точці перетину ординати рівні, тобто , ОтсюдаМи отримали дві точки перетину
Отже, шукана площа