Визначення 2. Векторним твором вектора на вектор називається вектор. довжина і напрям якого визначаються умовами:
1.. де - кут між.
3. - права трійка векторів.
Властивості векторного твори
1. (властивість антіперестановочності сомножителей);
2. (розподільчий щодо суми векторів);
3. (сочетательное относіельно числового множника);
4. (рівність нулю векторного твори означає коллинеарность векторів);
5.. т. е. момент сил дорівнює векторному добутку сили на плече.
Якщо вектор. то.
Визначення 3. Змішаним твором трьох векторів називається число, яке визначається наступним чином:. Якщо вектори задані своїми координатами:. то
Властивості змішаного твори
1. Необхідною і достатньою умовою компланарності векторів є рівність = 0.
2. Обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах
Приклади розв'язання задач
Завдання 1. Знайти координати векторного твори. якщо. .
Рішення. Знайдемо і. Векторний добуток, за визначенням, так само.
Завдання 2. Сили і прикладені до точки. Обчислити величину моменту рівнодіючої цих сил щодо точки.
Рішення. Знайдемо силу і плече. . момент
сил обчислюється за формулою
Завдання 3. Дано координати вершин паралелепіпеда:. Знайти обсяг паралелепіпеда, його висоту, опущену з вершини С, кут між вектором AD і гранню, в якій лежать вектори АВ і АС.
Рішення. За визначенням, обсяг паралелепіпеда дорівнює змішаного добутку векторів, на яких він побудований. Знайдемо ці вектори:
Обсяг цього паралелепіпеда.
З іншого боку, обсяг паралелепіпеда. - це площа паралелограма:.
Кут між вектором і гранню знайдемо за формулою
так як вектор перпендикулярний межі, в якій лежать вектори. Кут між цим вектором і вектором знаходимо за відомою формулою
. Очевидно, що шуканий кут.
Завдання 4. Перевірити, чи лежать в одній площині точки. . Знайти лінійну залежність вектора. якщо це можливо.
Рішення. Знайдемо три вектори:.
Три вектора лежать в одній площині, якщо вони компланарність, т. Е. Їх змішане твір дорівнює нулю:. Отже, ці три вектори лінійні
але залежні. Знайдемо лінійну залежність від.
Вирішуючи цю систему, отримаємо. тобто .
1.. Обчислити: а); б);
2.. Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах і.
3. Задані вектори. Знайти координати векторів:
4. Обчислити площу трикутника з вершинами
5. У трикутнику з вершинами. і знайти висоту.
6. Знайти вектор. якщо вектори мають наступні координати:
7. Сила прикладена до точки. Визначити момент цієї сили відносно точки.
8. Встановити, чи утворюють вектори базис в множині всіх Вектра, якщо а); б).
9. Обчислити обсяг тетраедра ОАВС, якщо
10. У тетраедра з вершинами в точках і
11. Перевірити, компланарність дані вектори:
12. Довести, що чотири точки лежать в одній площині.
13. Знайти координати четвертої вершини тетраедра ABCD. якщо відомо, що вона лежить на осі Oy, а обсяг тетраедра дорівнює V:
1. Спростити вираз.
2. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і. де - одиничні вектори, кут між якими дорівнює.
3. Дано вектори. знайти вектор
4. Дан трикутник з вершинами. Знайти його площу.
5. Дано сили. прикладені до точки. Визначити величину і напрямні косинуси моменту рівнодіючої цих сил щодо точки.
6. Обчислити обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах:
1). де - взаємно перпендикулярні орти;
7. Довести, що точки лежать в одній
8. Дано вершини тетраедра. Знайти довжину висоти, опущеної з вершини О на грань АВС.
9. Вектори. утворюють праву трійку, взаємно перпендикулярні. знаючи,
10. Вектор перпендикулярний до векторів. кут між дорівнює. Знаючи, що. обчислити.
11. Дано вектори. Обчислити.
12. Установити, компланарність вектори. якщо
13. Довести, що точки лежать в одній площині.
14. Обчислити обсяг тетраедра, вершини якого знаходяться в точках.
15. Дано вершини тетраедра. Знайти його висоту, опущену з вершини D.
16. Обсяг тетраедра. три його вершини знаходяться в точках. Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі.
1). 2). 3) (-3, 5, 7), (-6, 10, 14), (-12, 20, 28).
4). 5) 5. 6) (-20, 7, -11). 8) Ні, так. 9) 17/2. 10). 11) Так, немає.
Відповіді до домашнього завдання
1). 2). 3). 4). 5). 6) 0. 8) 11.