ВЕКТОРНА АЛГЕБРА
Величина, що визначається лише числовим значенням, називається скалярною величиною. або скаляром. Величина, що визначається числовим значенням і напрямком в просторі, називається векторною величиною. Вона зображується геометрично відрізком, довжина якого (в прийнятої одиниці масштабу) і напрям збігаються, з числовим значенням і напрямком векторної величини. Такий «спрямований» відрізок (відрізок, який має певну довжину і певний напрям в просторі) називається вектором. Довжина вектора називається його модулем. Зазвичай вектор позначається буквою з верхньої рискою.
Сума декількох векторів визначається вектором, що замикає ламану, складену з векторів-доданків. Окремі випадки: сума трьох векторів зображується діагоналлю паралелепіпеда (рис. 1), сума двох векторів зображується діагоналлю паралелограма (рис. 2).
Малюнок 1.
Малюнок 2.
Різниця векторів і визначається як вектор, який, будучи складний з вектором, дає вектор: =, якщо + =.
Твором скаляра α і вектора називається вектор, напрям якого збігається з при α> 0 і протилежно йому при α<0, а модуль равен произведению модуля вектора на абсолютную величину числа α.
Скалярним добутком векторів і [позначається або ()] називається скаляр, визначений за формулою
де φ - кут між напрямками векторів і.
Векторним твором векторів і (позначається або []) називається вектор, і до того ж так, щоб після суміщення почав векторів, і найкоротший поворот від до, якщо дивитися з кінця, здавався здійснюються проти годинникової стрілки (рис. 3).
Малюнок 3.
Властивості творів векторів:
Вектор може бути заданий трьома скалярними величинами ах. ay. az - його проекціями на координатні осі. Координатними ортами називаються вектори з модулем, рівним одиниці, спрямовані уздовж позитивних напрямків осей X, Y, Z; вони позначаються відповідно. Вектор може бути представлений у вигляді
Скалярний і векторний твори можуть бути представлені в координатної формі наступним чином: якщо