7. Приклади розподілу випадкових величин
Дискретна випадкова величина називається розподіленою за біноміальним законом, якщо її можливі значення 0, 1, ..., n. а ймовірність того, що, виражається формулою
,
де.
Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, так само, а дисперсія.
Дискретна випадкова величина називається розподіленою за законом Пуассона, якщо її можливі значення 0, 1, ..., m, ..., а ймовірність того, що виражається формулою
,
де - параметр закону Пуассона.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, рівні параметру.
Безперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленим в інтервалі, якщо її щільність розподілу в цьому інтервалі постійна.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, розподіленої рівномірно на ділянці, рівні відповідно
.
Безперервна випадкова величина називається розподіленою по показовому закону, якщо її щільність розподілу
де - параметр показового закону.
Для випадкової величини, розподіленої по показовому закону,
Функція розподілу має вигляд
Безперервна випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом, якщо її щільність розподілу
.
Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, так само, а дисперсія.
Ймовірність влучення випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал дорівнює
,
де - табульованих,
звідси.
Типові завдання для вирішення у аудиторії
1. Стрілець робить по мішені три постріли. Ймовірність влучення в мішень при кожному пострілі дорівнює 0,3. Побудувати ряд розподілу числа влучень і обчислити математичне сподівання і дисперсію зазначеної випадкової величини.
Рішення. Випадкова величина - число влучень в мішень при 3-х пострілах, розподілена за біноміальним законом, її можливі значення 0, 1, 2, 3.
;
Ряд розподілу випадкової величини:
Отриманий розподіл носить назву геометричного розподілу.
.
Для обчислення суми отриманого ряду розглянемо ряд
.
Звідси.
Завдання для вирішення в аудиторії
1. Випадкова величина має біноміальний закон розподілу з числовими характеристиками. Визначити ймовірність попадання випадкової величини на відрізок.
2. Відомо, що в партії деталей є 10% бракованих. Знайти закон розподілу випадкової величини - числа придатних деталей з п'яти, обраних навмання. Визначити числові характеристики цього закону.
3. Число атак винищувачів, яким може піддатися бомбардувальник над територією противника, є випадкова величина, розподілена за законом Пуассона з математичним очікуванням. Кожна атака з ймовірністю 0,4 закінчується поразкою бомбардувальника. Визначити: а) ймовірність ураження бомбардувальника; б) ту ж ймовірність, якщо число атак винищувачів -
невипадкова величина і в точності дорівнює трьом.
4. Монету кидають до першої появи герба. Знайти середнє число бросаний.
5. Ціна поділки шкали амперметра дорівнює А. Показання амперметра визначають до найближчого цілого ділення. Знайти ймовірність того, що при відліку зроблена помилка, що перевищує А.
Вказівка. Помилку округлення відліку можна розглядати як випадкову величину, яка рівномірно розподілена в інтервалі між двома сусідніми цілими поділами.
6. Ймовірність виявлення затонулого судна за час пошуку задається формулою. Визначити математичне сподівання випадкової величини - час пошуку затонулого судна.
7. Навантаження на стрижень підпорядковується нормальному закону розподілу з числовими характеристиками. Зусилля, що руйнує стрижень, становить. Знайти ймовірність руйнування стержня.
8. Верстат-автомат виготовляє валики, контролюючи їх діаметр. Вважаючи, що розподілений нормально,, знайти інтервал, в якому з ймовірністю 0,9973 будуть укладені діаметри виготовлених валиків.
Завдання для вирішення в аудиторії
9. Імовірність взяти деталь в межах допуску з великої партії деталей дорівнює. Знайти математичне сподівання і дисперсію числа деталей в межах допуску з 8 деталей, взятих навмання.
10. Потяги даного маршруту міського трамвая йдуть з інтервалом 5 хв. Пасажир підходить до трамвайної зупинки в певний момент часу. Яка ймовірність появи пасажира не раніше ніж через хвилину після відходу попереднього поїзда, але не пізніше ніж за дві хвилини до відходу наступного поїзда?
11. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням і дисперсією. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в інтервал.
12. Вважається, що відхилення довжини виготовлених деталей від стандарту є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Якщо стандартна довжина дорівнює і середнє квадратичне відхилення дорівнює, то яку точність довжини виріб можна гарантувати з ймовірністю?
13. Число частинок, що випромінювали радіоактивним елементом протягом довільного проміжку часу, має розподіл Пуассона з параметром. Знайти ймовірність того, що число часток, що випромінювали за дві секунди, буде укладено в відрізку.
14. Дистанція між двома сусідніми літаками в строю має показовий розподіл, причому. Небезпека зіткнення літаків виникає при зменшенні дистанції до. Знайти ймовірність того, що виникає небезпека зіткнення літаків в повітрі.
Про т в е т и
1.. 2.. 3. а); б).
4 .. 5.. 6.. 7.. 8..
9.. 10.. 11.. 12..
13.. 14..
8. Системи випадкових величин
Функцією розподілу системи двох випадкових величин називається функція.
Для системи неперервних випадкових величин існує щільність розподілу ймовірностей, що визначається таким чином:
.
Щільність розподілу ймовірностей неотрицательна:
.
Щільності розподілу ймовірностей випадкових величин, що входять в систему:
Випадкові величини називаються незалежними. якщо
.
Система двох дискретних випадкових величин може бути задана таблицею. в якій наведено пари значень випадкових величин і відповідні їм ймовірності.
Тут - ймовірність події, яка полягає в одночасному виконанні рівності. При цьому . Вищенаведена таблиця може містити рахункове безліч рядків і стовпців.
По таблиці розподілу ймовірностей системи випадкових величин можна знайти закон розподілу випадкових величин, що входять в систему:
, .
Дискретні випадкові величини називаються незалежними. якщо
.
Початковий і центральний - моменти системи двох випадкових величин визначаються наступним чином:
і можуть бути обчислені за формулами
,
(Для дискретних випадкових величин)
і,
(Для неперервних випадкових величин).
Центральний момент називається кореляційним моментом. Кореляційний момент характеризує ступінь лінійної залежності випадкових величин. Безрозмірною характеристикою зв'язку між випадковими величинами служить коефіцієнт кореляції
.
Якщо випадкові величини, що входять в систему, незалежні, то; в загальному випадку через некоррелированности не слід незалежність випадкових величин.
Рішення типових задач
1. У двох ящиках містяться кулі, по 6 куль в кожному. В ящику 1 куля - з № 1, 2 кулі з № 2, 3 кулі з № 3; у другому ящику - 2 кулі з № 1, 3 кулі з № 2 і 1 куля з № 3. Розглядаються випадкові величини: - номер кулі, витягнутого з першого ящика; - номер кулі, витягнутого з другого ящика. З кожного ящика вийняли по кулі. Скласти таблицю розподілу системи випадкових величин. Знайти математичні очікування, дисперсії і. коефіцієнт кореляції.
Знайти ряди розподілу для і. Чи будуть незалежні і?
2. За метою проводяться два незалежних пострілу. Ймовірність влучення в ціль при першому пострілі дорівнює, при другому -. Побудувати таблицю розподілу системи двох випадкових величин, де - число влучень при першому пострілі, - число влучень при другому пострілі. Знайти функцію розподілу системи.
3. Незалежні випадкові величини і підпорядковані наступним законам розподілу:,
Написати вираз функції розподілу системи двох випадкових величин.
4. Дана функція розподілу системи двох випадкових величин:
Визначити, залежні чи випадкові величини. Знайти щільність розподілу ймовірностей системи. Обчислити числові характеристики.
5. Система випадкових величин має щільність
.
Визначити величину. Знайти функцію розподілу,,. Визначити ймовірність попадання випадкової точки в область, задану нерівностями:.
6. Система двох випадкових величин, підпорядкована закону рівномірної щільності усередині прямокутника:. Знайти щільність розподілу ймовірності та ймовірність попадання випадкової точки в квадрат зі стороною, якщо центр цього квадрата збігається з початком координат.
7. Щільність розподілу ймовірностей систем двох незалежних випадкових величин задана наступним виразом:
.
Знайти невідомий параметр і визначити кореляційну матрицю системи.
Завдання для вирішення в аудиторії
8. Закон розподілу системи двох випадкових величин задано таблицею розподілу (рис. 1). Знайти такі характеристики системи:.
9. Випадкові величини незалежні і їх щільності розподілу ймовірностей відповідно рівні:
Визначити функцію розподілу системи випадкових величин. Знайти числові характеристики системи випадкових величин.
10. Функція спільного розподілу випадкових величин задана виразом
Визначити, залежні чи випадкові величини. Знайти щільність розподілу ймовірностей системи. Знайти ймовірність одночасного виконання нерівностей.
11. Визначити математичне сподівання і кореляційну матрицю системи двох випадкових величин, якщо щільність розподілу ймовірностей системи має наступний вигляд:
.
Визначити ймовірність попадання випадкової точки в коло радіусом.
12. Випадкова точка має рівномірний розподіл всередині прямокутника, обмеженого прямими. Знайти функцію розподілу системи випадкових величин.
13. Система двох випадкових величин має щільність розподілу ймовірностей.
Знайти такі числові характеристики системи
.
13..
БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК
1. Абезгауз Г.Г. та ін. Довідник по імовірнісним розрахунками. М. Воениздат, 1970.
2. Боровков А.А. Теорія імовірності. М. Наука, 1976.
3. Венцель Е.С. Теорія імовірності. М. Наука, 1969.
4. Венцель Е.С. Овчаров Л.А. Теорія імовірності. Завдання і вправи. М. Наука, 1969.
5. Виленкин Н.Я. Комбінаторика. М. Наука, 1969.
6. Виленкин Н.Я. Популярна комбінаторика. М. Наука, 1975.
7. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М. Вища. школа, 1972.
8. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. М. Вища. школа, 1970.
9. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. М. Физматгиз, 1961.
10. Гурський Є.І. Теорія ймовірностей з елементами математичної статистики: М. Вища. школа, 1971.
11. Єжов І.І. Скороход А.В. Ядренко М.І. Елементи комбінаторики. М. Наука, 1977.
12. Івашов-Мусатов О.С. Теорія ймовірностей і математична статистика. М. Наука, 1979.
13. Коваленко І.М. Філіппов А.А. Теорія ймовірностей і математична статистика. М. Вища. школа, 1973.
14. Прохоров Ю.В. Розанов Ю.А. Теорія імовірності. М. Наука, 1973.
15. Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична статистика. М. Наука, 1979.
16. Збірник завдань з теорії ймовірностей, математичній статистиці і теорії випадкових функцій / Под ред. А. А. Свєшнікова М. Наука, 1970.
17. Тутубалин В.Н. Теорія імовірності. М. Изд-во МГУ, 1972.
18. Феллер В. Введення в теорію ймовірностей та її застосування. М. Світ, 1964.