«Існують три види брехні: брехня, нахабна брехня і статистика». Ця фраза, приписана Марком Твеном прем'єр-міністру Великобританії Бенджаміну Дізраелі, непогано відображає ставлення більшості до математичних закономірностей. Дійсно, теорія ймовірностей часом підкидає дивовижні факти, в які складно повірити з першого погляду - і які, тим не менш, підтверджені наукою. «Теорії і практики» згадали найвідоміші парадокси.
Саме це завдання у фільмі «Двадцять одне» запропонував студентам хитрий професор MIT. Давши правильну відповідь, головний герой потрапляє в команду блискучих молодих математиків, що обіграють казино в Лас-Вегасі.
Класичне формулювання звучить так: «Припустимо, якомусь гравцеві запропонували взяти участь у відомому американському телешоу Let's Make a Deal, яке веде Монті Холл, і йому необхідно вибрати одну з трьох дверей. За двома дверима знаходяться кози, за однією - головний приз, автомобіль, провідний знає розташування призів. Після того, як гравець робить свій вибір, ведучий відкриває одну з решти дверей, за якою знаходиться коза, і пропонує гравцеві змінити своє рішення. Чи варто гравцеві погодитися або краще зберегти свій первісний вибір? »
Ось типовий хід міркувань: після того, як ведучий відкрив одну з дверей і показав козу, гравцеві залишається вибрати між двома дверима. Машина знаходиться за однією з них, значить, ймовірність її вгадати становить ½. Так що немає різниці - міняти свій вибір чи ні. І тим не менше, теорія ймовірностей говорить, що можна збільшити свої шанси на виграш, змінивши рішення. Розберемося, чому це так.
Для цього повернемося на крок назад. У той момент, коли ми зробили свій початковий вибір, ми розділили двері на дві частини: обрана нами і дві інші. Очевидно, що ймовірність того, що автомобіль ховається за «нашої» дверима, становить ⅓ - відповідно, автомобіль знаходиться за однією з двох, що залишилися дверей з ймовірністю ⅔. Коли ведучий показує, що за однією з цих дверей - коза, виходить, що ці ⅔ шансу припадають на другі двері. А це зводить вибір гравця до двох дверей, за однією з яких (спочатку обраної) автомобіль знаходиться з імовірністю ⅓, а за іншою - з ймовірністю ⅔. Вибір стає очевидним. Що, зрозуміло, не скасовує того факту, що з самого початку гравець міг вибрати двері з автомобілем.
Парадокс трьох в'язнів схожий з проблемою Монті Холла, хоча дія розгортається в більш драматичних умовах. Троє в'язнів (А, Б і В) засуджені до смертної кари і поміщені в одиночні камери. Губернатор випадковим чином вибирає одного з них і дає йому помилування. Наглядач знає, хто з трьох помилуваний, але йому велено тримати це в таємниці. В'язень A просить стражника сказати йому ім'я другого ув'язненого (крім нього самого), який точно буде страчений: «якщо Б помилуваний, скажи мені, що страчений буде В. Якщо помилуваний В, скажи мені, що страчений буде Б. Якщо вони обидва будуть страчені , а помилуваний я, підкинь монету, і скажи будь-яке з цих двох імен ». Наглядач каже, що буде страчений в'язень Б. Чи варто радіти в'язневі А?
Здавалося б, так. Адже до отримання цієї інформації ймовірність смерті в'язня А становила ⅔, а тепер він знає, що один з двох інших в'язнів буде страчений - значить, ймовірність його страти знизилася до ½. Але насправді в'язень А не впізнав нічого нового: якщо помилуваний не він, йому назвуть ім'я іншого в'язня, а він і так знав, що когось із двох останніх стратять. Якщо ж йому пощастило, і кару скасували, він почує випадкове ім'я Б або В. Тому його шанси на порятунок ніяк не змінилися.
А тепер уявімо, що хтось із решти в'язнів дізнається про питання в'язня А і отриманій відповіді. Це змінить його уявлення про ймовірність помилування.
Якщо розмова підслухав в'язень Б, він дізнається, що його точно стратять. А якщо в'язень У, то ймовірність його помилування становитиме ⅔. Чому так сталося? В'язень А не отримав ніякої інформації, і його шанси на помилування і раніше ⅓. В'язень Б точно не буде помилуваний, і його шанси дорівнюють нулю. Значить, ймовірність того, що на свободу вийде третій в'язень, дорівнює ⅔.
Парадокс полягає в тому, що поки ви не розкрили свій конверт, ймовірності поводяться доброчесно: у вас дійсно 50-відсотковий шанс виявити в своєму конверті суму X і 50-процентний - суму 2X. І здоровий глузд підказує, що інформація про наявну у вас сумі не може вплинути на вміст другого конверта.
Проте, як тільки ви перегризаєте конверт, ситуація кардинально змінюється (цей парадокс чимось схожий на історію з котом Шредінгера. Де сама наявність спостерігача впливає на стан справ). Справа в тому, що для дотримання умов парадоксу ймовірність знаходження в другому конверті більшою або меншою суми, ніж у вас, повинна бути однаковою. Але тоді равновероятно будь-яке значення цієї суми від нуля до нескінченності. А якщо равновероятно нескінченне число можливостей, в сумі вони дають нескінченність. А це неможливо.
Для наочності можна уявити, що ви виявляєте в своєму конверті один цент. Очевидно, що в другому конверті не може бути суми вдвічі менше.
Цікаво, що дискусії щодо дозволу парадоксу тривають і в даний час. При цьому робляться спроби як пояснити парадокс зсередини, так і виробити найкращу стратегію поведінки в подібній ситуації. Зокрема, професор Томас Кавер запропонував оригінальний підхід до формування стратегії - міняти чи не міняти конверт, керуючись якимось інтуїтивним очікуванням. Скажімо, якщо ви відкрили конверт і виявили в ньому $ 10 - невелику суму за вашим прикидками - варто його обміняти. А якщо в конверті, скажімо, $ 1 000, що перевершує ваші найсміливіші очікування, то змінюватися не треба. Ця інтуїтивна стратегія в разі, якщо вам регулярно пропонують вибирати два конверта, дає можливість збільшити сумарний виграш більше, ніж стратегія постійної зміни конвертів.
Здавалося б, завдання просте. Однак якщо почати розбиратися, виявляється цікаву обставину: правильну відповідь буде відрізнятися в залежності від того, яким чином ми будемо підраховувати ймовірність статі іншої дитини.
Розглянемо всі можливі комбінації в сім'ях з двома дітьми:
Варіант дівчинка / дівчинка нам не підходить за умовами завдання. Тому для сім'ї містера Сміта можливі три рівноймовірно варіанти - а значить, ймовірність того, що інша дитина теж виявиться хлопчиком, становить ⅓. Саме таку відповідь і давав сам Гарднер спочатку.
Уявімо, що ми зустрічаємо містера Сміта на вулиці, коли він гуляє з сином. Яка ймовірність того, що друга дитина - теж хлопчик? Оскільки пів на другу дитину ніяк не залежить від статі першого, очевидним (і правильним) відповіддю є ½.
Чому так відбувається, адже, здавалося б, нічого не змінилося?
Все залежить від того, як ми підходимо до питання підрахунку ймовірності. У першому випадку ми розглядали всі можливі варіанти сім'ї Сміта. У другому - ми розглядали всі сім'ї, які підпадають під обов'язкову умову «повинен бути один хлопчик». Розрахунок ймовірності статі другу дитину вівся з цією умовою (в теорії ймовірностей це називається «умовна ймовірність»), що і призвело до результату, відмінного від першого.