Вибір споживачем деякого набору товарів частково залежить від його смаків. Вони характеризуються слабким ставленням переваги, або слабким перевагою: «краще ніж» або «рівноцінний», яке записується далі як «».
де x і y - набори товарів (точки простору С), означає, що даний споживач або вважає за краще набір x набору y. або не робить між ними різниці: x принаймні так само гарний як і у.
Визначимо тепер поняття байдужості. Набори товарів x і y байдужі для споживача (x
y) тоді і тільки тоді, коли кожен краще або байдужий по відношенню до іншого, т. е.
y, якщо і тільки якщо xy і y x (2.3)
Споживач віддає перевагу набір х набору у (x y), якщо і тільки якщо х краще або байдужий у, а у не краще або не байдужий х:
х у. якщо і тільки якщо xy, а відношення yx невірно (2.4)
Ставлення в просторі товарів називається досконалим. якщо для будь-яких наборів товарів х і у з З справедливо:
Співвідношення (2.5) означає, що в С немає «прогалин», в яких переваги не існує.
Відношення називається транзитивним (напіввпорядкованих), якщо, для будь-яких трьох наборів х, у і z з З виконується умова:
Відношення називається рефлексивним. якщо хx.
Відношення називається симетричним. якщо xy тягне yx.
Розглянемо дві основні аксіоми про слабкий відношенні переваги.
Аксіома 1. Слабке відношення переваги є досконалою напіввпорядкованих простору товарів С.
Аксіома стверджує, що для довільних х і у в С справедливі формули (2.5), (2.6). З аксіоми 1 можна отримати такі властивості відносин еквівалентності. Це відношення:
· Транзитивно: якщо x
х (будь-який набір товарів еквівалентний сам собі)
Ставлення байдужості ділить простір товарів З на класи еквівалентності, звані множинами байдужості, кожна з яких складається з усіх наборів, байдужих заданому набору х.
Сказане можна записати так: безліч байдужості для товара х:
Введемо поняття переважного і непредпочтітельного множин.
Бажаний безліч - безліч, що складається з наборів товарів, які предпочитаются або байдужі заданому набору х.
Непредпочтітельное безліч - безліч, яке складається з тих наборів товарів, для яких х краще або байдужий:
Аксіома 2. Слабке відношення переваги безперервно.
Згідно аксіомі 2 відношення переваги безперервно, тобто кращі безлічі і непредпочтітельние безлічі є замкнутими множинами в просторі С. тобто містять свої граничні точки. причому
Формула (2.10) означає те що безлічі переваги з безліччю непредпочтеніе.
З двох основних аксіом досконалої напіввпорядкованих і безперервності, слід, що існує безперервна функція вектора товарів х. яку позначимо. Функція називається фунуція корисності. Для неї справедливо:
u (x) u (y). тільки якщо (2.11)
Будемо вважати u (x), що диференціюється і такий, що градієнт функції u (x) позитивний:
Співвідношення (2.12) означає, що всі приватні похідні, i =, тобто зі збільшенням кількості товарів, функція корисності збільшується.
Приватні похідні,, називаються граничними корисними речами.
Далі розглянемо аксіому суворої опуклості. Нехай х і у - різні набори товарів в С. причому, тоді
Згідно (2.8) і (2.13)
На рис. 2.1 зображено безліч переваг, яке задовольняє цій аксіомі відповідно для n = 1, 2.
Рис.2.1. Точка 1 визначається виразом, точка 2 - виразом
На рис.2.1 межа безлічі - являє собою безліч байдужості, яке представляє собою криву байдужості. Як видно з рис.2.1 безліч - строго опукле. Тоді можна показати, що безліч
також опукле для будь-якого дійсного а.
Розглянемо як приклад рис. 2.2. На ньому зображено для (простір товарів - одномірний) безліч, яке представляє собою заштрихованную частина числової осі (осі -ів). З рис.2.2 видно, що безліч опукле для будь-якого а.
Для ілюстрації виду безлічі в двовимірному випадку (розмірність простору товарів) нам знадобиться поняття лінії рівного рівня функції з числом змінних більше одиниці.
Будемо розсікати цю функцію площинами, паралельними координатної площині. Спроектуємо лінії перетину функції з площинами на координатну площину, див. Рис. 2.2.
Ці проекції наиваются лініями рівного рівня. На кожній такій лінії значення функції корисності однакове. На рис. 2.3 наведені криві для значень.
Крива байдужості представляє собою лінію рівного рівня для функції. Без втрати спільності будемо вважати, що, де величина фігурує у формулі (2.14). В силу властивості суворої опуклості має місце наступні нерівності. Безліч є заштрихованную на рис. 2.3. область. Як видно, ця область - опукла.
Припустимо, що - двічі безперервно диференціюється функція і матриця її других похідних (матриця Гессе) негативно визначена. Це означає, що для будь-якого ненульового - мірного вектора виконується нерівність:. Негативно визначення матриця часто позначається так:. У нашому випадку, - матриця Гессе має вигляд:
Матриця Н - симетрична. Негативна визначеність матриці Н разом з умовою (2.14) означає. що строго вогнутаяфункція. Звідси випливає, що елементи на головній діаганалі - негативні, тобто
З формули (2.15) випливає, що швидкість зміни першої похідної - граничної корисності - негативна. Таким чином, формула (2.15) означає, що гранична корисність будь-якого товару зменшується в міру того, як він споживається. Допущення про негативну визначення матриці, яке тягне (2.15), називається законом Госсена.
Приклади функцій корисності.
де - транспонований вектор, - задані величини.
2) Логарифмічна (Бернуллі):
де - задані величини.
3) Постійної еластичності:
,> 0, 0 <<1,>> 0,.