Анотація: Завдання про конгруентних числах, згадувана ще в арабських математичних текстах X століття, полягає в наступному: для яких раціональних чисел s знайдеться прямокутний трикутник з раціональними сторонами і площею $ s $. Дивним чином ця проблема виявляється пов'язаної з найсучаснішою математикою - її рішення може бути отримано за модулем так званої гіпотези Берча і Свіннертона-Дайра, що входить в список «Проблем тисячоліття» інституту Клея і за рішення якої пропонується мільйон доларів. Я спробую розповісти про те, звідки береться така зв'язок. По дорозі нам зустрінеться безліч об'єктів і теорем, що мають величезну важливість в сучасній арифметичної геометрії і теорії чисел. Ми обговоримо еліптичні криві і закон складання на них, теорему Морделла-Вейля, поговоримо про те, як корисно дивитися на рішення рівнянь по модулю простого числа $ p $ і згадаємо теорему Маньківського-Хассе про квадратичні форми, по дорозі нам знадобляться такі класичні затвердження як теорема Діріхле про прості числа в арифметичних прогресіях і квадратичний закон взаємності. Нарешті, якщо залишиться час, ми згадаємо про $ L $ -функція еліптичних кривих і модулярних формах, - то без чого неможливо уявити сучасну теорію чисел.
Для розуміння курсу буде достатньо знань про те, що таке абелева група, поле $ C $ і кінцеве поле з $ p $ елементів $ Z / pZ $. Крім того, ближче до кінця, знадобиться вміння поводитися з нескінченними сумами і творами.