На перших етапах свого розвитку геометрія представляла собою набір корисних, але не пов'язаних між собою правил і формул для вирішення завдань, з якими люди стикалися в повсякденному житті. Лише через багато століть по тому вченими Давньої Греції була створена теоретична основа геометрії.
У найдавніші часи єгиптяни, приступаючи до будівництва піраміди, палацу або звичайного будинку, спочатку відзначали напрямки сторін горизонту (це дуже важливо, тому що освітленість в будові залежить від положення його вікон і дверей по відношенню до Сонця). Діяли вони так. Встромляли вертикально палицю і стежили за її тінню. Коли ця тінь ставала найкоротшою, тоді її кінець вказував точний напрям на північ.
Для вимірювання площі стародавні єгиптяни використовували особливий трикутник, у якого були фіксовані довжини сторін. Займалися вимірами особливі фахівці, які називалися «натягівателямі каната» (гарпедонаптай). Вони брали довгу мотузку, ділили її на 12 рівних частин вузликами, а кінці мотузки зв'язували. На напрямку північ - південь вони встановлювали два кола на відстані чотирьох частин. зазначених на мотузці. Потім за допомогою третього кола натягували пов'язану мотузку так, щоб утворився трикутник, у якого одна сторона мала три частини, інша - чотири, а третя п'ять частин. Виходив прямокутний трикутник, площа якого брали за еталон.
Визначення недоступних відстаней
Історія геометрії зберігає чимало прийомів вирішення завдань на знаходження відстаней. Однією з таких завдань - це визначення відстаней до кораблів знаходяться в морі.
Перший спосіб заснований на одному з ознак рівності трикутників
Нехай корабель знаходиться в точці К, а спостерігач - в точці А. Потрібно визначити відстань КА. Побудувавши в точці А прямий кут, необхідно відкласти на березі два рівних відрізка:
АВ = ВС. У точці С знову побудувати прямий кут, причому спостерігач повинен йти по перпендикуляру до тих пір, поки не дійде до точки D, з якої корабель До і точка В були б видно лежать на одній прямій. Прямокутні трикутники ВСD і ВАК рівні, отже, СD = АК, а відрізок СD можна безпосередньо виміряти.
Другий спосіб - тріангуляції
З його допомогою вимірювалися відстані до небесних тіл. Цей метод включає три етапи:
□ Виміряти кути α, β і відстань АВ;
□ Побудувати трикутник А1 В1К1 з кутами α і β при вершинах А1 і В1 відповідно;
□ З огляду на подобу трикутників АВК і А1 В1К1 і рівність
АК. АВ = А1К1. А1 В1, по відомим довжинах відрізків АВ, А1К1 і. А1 В1 неважко знайти довжину відрізка АК.
Прийом, яким користувалися в російській військовій інструкції початку XVII ст.
Завдання. Знайти відстань від точки А до точки В.
У точці А потрібно вибрати жезл приблизно в людини. Верхній кінець жезла слід поєднати з вершиною прямого кута кутника так, щоб продовження одного з катетів проходило через точку В. Далі потрібно відзначити точку С перетину продовження іншого катета з землею. Тоді, скориставшись пропорцією
АВ. А D = АD. АС, легко обчислити довжину АВ; АВ = АD2 / АС. Для того, щоб спростити розрахунки і вимірювання, рекомендується розділити жезл на 100 або 1000 рівних частин.
Давньокитайський прийом вимірювання висоти недоступного предмета.
Величезний внесок у розвиток прикладної геометрії вніс найбільший китайський математик III століття Лю Хуей. Йому належить трактат «Математика морського острова», в якому наведені вирішення різних завдань на визначення відстаней до предметів, розташованих на віддаленому острові, і обчислення недоступних висот. Ці завдання досить складні. Але вони мають практичну цінність, тому отримали широке застосування не тільки в Китаї, але і за її межами.
Спостерігають морської острів. Для цього встановили пару жердин однакової висоти в 3 чжана на відстані 1000 бу. Підстави обох жердин знаходяться на одній прямій з островом. Якщо відійти по прямій від першого жердини на 123 бу, то очей людини лежачого на землі, буде спостерігати верхній кінець жердини збігається з вершиною острова. Така ж картина вийде, якщо відійти від другого жердини на 127 бу.
Яка висота острова?
У звичних для нас позначеннях рішення даної задачі, засноване на властивостях подібності.
Нехай EF = КD = 3 чжана = 5 бу, ЕD = 1000бу, ЕМ = 123 бу, СD = 127 бу.
Визначити АВ і АЕ.
Трикутники АВМ та ЕFМ, АВС і DКС подібні. Отже, ЕF: АВ = ЕМ: АМ і КD: АВ = DС: АС. Отримаємо: ЕМ: АМ = DС: АС, або ЕМ: (АЕ + ЕМ) = СD: (АЕ + ЕD + DС). В результаті знайдемо АЕ = 123 · 1000: (127 - 123) = 30750 (бу). Подібні і трикутники А1ВF і ЕFМ, а АВ = А1В + А1А. Звідси АВ = 5 · 1000 (127 - 123) + 5 = 1255 (бу)
Рецепт, який пропонував Лю Хуей.
Як знайти висоту острова?
□ Висоту жердини Додай на відстань між жердинами - це ділене.
□ Різниця між відступами буде дільником, роздягли на неї.
□ Що вийде, додай висоту жердини.
□ Отримаємо висоту острова.
Рецепт, який пропонував Лю Хуей.
Відстань до недоступною точки.
❖ Відступ від попереднього жердини помножити на відстань між жердинами - це ділене.
❖ Різниця між відходами буде дільником, роздягли на неї.
❖ Отримаємо відстань, на яке острів віддалений від жердини.
Прикладна геометрія була незамінна для землемерия, мореплавання і будівництва. Таким чином геометрія супроводжувало людство протягом всієї історії його існування. Рішення окремих старовинних задач прикладного характеру можуть знайти застосування і в даний час, а тому заслуговують на увагу і сьогодні.