Тут m i = S 3 0 (x i); m i + 1 = S 3 0 (x i + 1). Для їх визначення накладають умови безперервності другої похідної в точці x i і обмеження на значення сплайна і його похідних на кінцях проміжку [a, b] - крайові умови. Тобто потрібна додаткова інформація про функції, для якої є потреба в інтерполяції.
При побудові інтерполяційного кубічного сплайна найбільш часто використовуються крайові умови чотирьох типів. Вибір крайових умов є однією з центральних проблем при інтерполяції функцій. Він особливо важливий при необхідності забезпечити високу точність апроксимації функції f (x) сплайном S (x) поблизу кінців відрізка [a, b]. Крайові значення істотно впливають на поведінку сплайна S (x) поблизу точок a і b. Це вплив швидко слабшає при відході від них.
Якщо на кінцях відрізка [a, b] відомі значення 1-й похідної f 0 (x), то природно скористатися крайовими умовами 1-го типу.
1. Крайові умови 1-го типу. Якщо відомо, що S 3 0 (a) = f 0 (a); S 3 0 (b) = f 0 (b), то для визначення
• Назад • Перша • Попередня • Наступна • Остання • Перейти • Покажчик
Якщо є можливість вибору між крайовими умовами 1-го і 2-го типу, то перевага варто віддати умов 1-го типу.
3. Крайові умови 3-го типу
У разі, якщо ніякої додаткової інформації про поведінку функції, що апроксимується немає, часто використовують так звані природні крайові умови
S 00 (a) = 0, S 00 (b) = 0.
• Назад • Перша • Попередня • Наступна • Остання • Перейти • Покажчик
Однак слід мати на увазі, що при такому виборі крайових умов точність апроксимації функції f (x) сплайном S (x) поблизу кінців відрізка [a, b] різко знижується. Іноді користуються крайовими умовами 1-го або 2-го типу, але не з точними значеннями відповідних похідних, а з їх різницевими апроксимаціями. Точність такого підходу невисока.
Практичний досвід розрахунків показує, що в такій ситуації найбільш доцільним є вибір природних крайових умов.
Якщо f (x) - періодична функція, то слід зупинитися на крайових умовах 3-го типу.
4. Крайові умови 4-го типу. Якщо f (x) - періодична функція f (x) = f (x + T) то f (x 0) = f (x n), f (x 1) = f (x n + 1) m 0 = m n. m 1 = m n + 1 і система рівнянь має вигляд
Якщо інтерпольованого функція f (x) має на відрізку [a, b] безперервну першу похідну, тобто f (x) C 1 [a, b], а S (x) - інтерполяційний сплайн, що задовольняє крайовим умови 1-го або 3-го типу, то при h → 0 маємо
kf (x) - S (x) k C = o (h), kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (1).
У цьому випадку не тільки сплайн сходиться до інтерпольованої функції, але і похідна сплайна сходиться до похідної цієї функції.
У разі, коли f (x) C 4 [a, b], сплайн S (x) апроксимує на відрізку [a, b] функцію f (x), а його 1-ша
і 2-а похідні апроксимуються відповідно функції f 0 (x) і f 00 (x):
kf (x) - S (x) k C = o (h 4), kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (h 3),
kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (h 2).
Екстремальне властивість кубічного сплайна
Інтерполяційний кубічний сплайн має ще одну корисну властивість. Розглянемо задачу. Завдання. Побудувати функцію f (x), яка мінімізує функціонал
I (f) = (f 00 (x)) 2 dx
• Назад • Перша • Попередня • Наступна • Остання • Перейти • Покажчик