Наближене рішення рівняння з одним невідомим
1. Нехай дана функція F (x), алгебраїчна або трансцендентна. Знайти ті значення аргументу, для яких. Функція F (x) повинна бути двічі диференціюється хоча б поблизу коріння.
Наближені методи розв'язування F (x) = 0 в основному складаються з двох етапів.
Перший етап. Відділення кореня, т. Е. Знаходження проміжку, всередині якого знаходиться тільки один корінь. Такий проміжок називається інтервалом ізоляції кореня.
Другий етап. Уточнення наближеного значення, т. Е. Звуження інтервалу ізоляції до деякої заданої ступеня точності.
2. Відділення коренів засноване на тому, що якщо - корінь рівняння F (x) = 0, то для значень аргументу значення функцій F (a) і F (b) матимуть різні знаки, т. Е..
Приклад 1. Відокремити корені рівняння.
Рішення. Складаємо таблицю значень функції при різних, довільно вибраних значеннях.
Визначаємо, що між 2 і 0, між 0 і 3 є хоча б по одному кореню.
3. Графічне відділення коренів. Побудувавши графік функції y = F (x), можна визначити точки його перетину з віссю абсцис, т. Е. Наближені значення коренів.
Іноді вдається замінити рівняння F (x) = 0 еквівалентним йому рівнянням. Абсциси точок перетину графіків і будуть корінням вихідного рівняння.
Приклад 2. Відокремити корені рівняння.
Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді, побудуємо графіки функції.
Перевіримо, що знайдений проміжок відокремлює рівно один корінь, для цього потрібно взяти першу похідну і перевірити, чи зберігає вона знак на проміжку, а саме однакові знаки у і.
Значить, є інтервалом ізоляції кореня рівняння.
4. Уточнення коренів проводиться ітераційним методом, який за первісним інтервалу ізоляції дозволяє знайти більш вузький інтервал, що належить інтервалу, і т. Д. Це можна робити різними методами.
Метод половинного ділення
Метод половинного ділення полягає в тому, що інтервал ізоляції, знайдений при відділенні коренів. ділять приблизно (або точно) навпіл. У серединній точці визначають знак функції F (c) і за таке значення інтервалу ізоляції беруть ту з половин або. на кінцях якої функція має різні знаки. Зі знайденим інтервалом надходять також, т. Е. Ділять його навпіл, і т. Д. До тих пір, поки його довжина не буде задовольняти заданої точності, т. Е. Поки не виконається нерівність, тоді, а, де - шуканий корінь рівняння , - задана точність.
Метод половинного ділення сходиться завжди, але вимагає дуже тривалих обчислень. Він застосовується при розрахунках з невеликим ступенем точності.
Приклад 3. Зменшити інтервал ізоляції кореня, знайдений в прикладі 2, так, щоб його довжина була не більша 0,1.
, корінь; . Беремо приблизно середину цього інтервалу, обчислюємо. Новим інтервалом ізоляції буде. Знову беремо його середину. Отже, є більш вузьким, ніж графічно знайдений інтервал ізоляції.
Корінь можна вважати рівним 0,65 з точністю до = 0,01 або з похибкою.
Метод хорд і дотичних
Цей комбінований метод є найбільш ефективним методом уточнення кореня. Геометричний сенс цього методу пояснює рис. 2.
перетину дотичній і хорди дадуть новий більш вузький інтервал ізоляції:. На цьому інтервалі також можна побудувати хорду і дотичну, що дасть інтервал, і т. Д. До тих пір, поки не виконається нерівність.
Очевидно, що дотична і хорда проходять по різні боки дуги і що дотичну треба проводити з боку опуклості графіка функції.
Обчислення меж інтервалу ізоляції проводиться за схемою
Величини називаються поправками і обчислюються по залежності від напрямку опуклості на за такими формулами
де - межі інтервалу ізоляції, знайдені при відділенні коренів. Обчислення ведуться до тих пір, поки не виконається нерівність.
Значення кореня беруть рівним середині відрізка
При цьому повинно бути.
Метод хорд і дотичних сходиться до точного значення кореня за таких умов:.
1. F (x) монотонна, т. Е. Не змінює знак.
2. F (x) зберігає напрямок опуклості, т. Е. Не змінює знак.
3. не стає дуже великою.
4. не дуже близька до нуля.
5. Початкове наближення досить близько до кореня, т. Е. Інтервал ізоляції досить малий.
Похибка методу дорівнює похибки округлення, що виникла на останній ітерації. Випадкові помилки не впливають на точність обчислень.
Обчислення слід проводити з однієї запасної значущою цифрою.
1. На першому етапі вирішення рівняння графік потрібно будувати якомога точніше. Після знаходження інтервалу ізоляції кореня необхідно переконатися, що функція F (x) на кінцях цього проміжку має різні знаки. Якщо ця умова
не виконується, то потрібно перевірити правильність побудови графіка.
2. При уточненні кореня необхідно стежити за тим, щоб послідовності були монотонними, причому
. Послідовності повинні спадати також монотонно.
3. Рекомендується стежити за знаками величин. Ці величини повинні зберігати той же знак, що і. Порушення цієї умови означає "перескакування" через корінь, що може бути внаслідок неправильного вибору розрахункових формул, арифметичної помилки або неточності через округлення. Щоб уникнути останньої помилки округлення поправок слід проводити в сторону зменшення абсолютної величини.
Завдання. Дано рівняння F (x) = 0, знайти корінь цього рівняння з точністю e.
1. Побудувати графік функції y = F (x), або
2. Визначити проміжок [a; b], ізолюючий абсциссу точки перетину графіків.
3. Перевірити, що на кінцях цього відрізка початкова функція має різні знаки.
4. Необхідно методом половинного ділення зменшити інтервал ізоляції так, щоб його довжина дорівнювала 0,1. Одержаний інтервал вважати початковим.
5. Знайти похідні. Перевірити, що їх знаки зберігаються на. Визначити ці знаки.
6. Вибрати розрахункові формули методу хорд і дотичних.
7. розкреслив і заповнити бланк розрахунку (див. Приклад 3).
8. Відповідь має містити значення кореня, функції в корені і оцінку похибки.
Приклад 4. Обчислити менший корінь рівняння з точністю.
1. Графічне відділення коренів і уточнення інтервалу ізоляції для даного рівняння наведено вище.
2. Перевіряємо застосовність методу хорд і дотичних до даного рівняння.