Мета роботи - дослідити залежність моменту інерції хрестовини з натягнутими на неї грузиками від розподілу маси щодо осі обертання, що проходить через центр мас.
В основі експерименту лежить основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла
де М - сумарний момент зовнішніх сил, прикладених до тіла щодо осі обертання; J - момент інерції тіла відносно тієї ж осі; - кутове прискорення.
В динаміці обертального руху розрізняють два поняття: момент сили відносно точки і момент сили відносно осі обертання.
Момент сили відносно точки О визначається як векторний добуток
,
де - сила, - радіус-вектор, проведений з точки. в точку прикладання сили.
Момент сили відносно осі обертання є проекція на довільну осьz. яка проходить через точку В:
.
Момент інерції тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі, подібно до того як маса тіла є мірою інертності тіла при поступальному русі. Момент інерції тіла залежить від розподілу маси тіла щодо осі обертання. Для обчислення моменту інерції твердого тіла відносно даної осі розіб'ємо подумки тіло на велике число досить малих елементів - матеріальних точок (рис.1). Тоді момент інерції тіла
,
де mi - маса елемента; ri - відстань від елемента до осі обертання; - щільність речовини в елементі об'емаdV, що знаходиться на расстоянііr від осі обертання. Таким чином, завдання знаходження моменту інерції зводиться до інтегрування.
З формули (1) випливає, що кутове прискорення обертового тіла прямо пропорційно моменту зовнішніх сил М і обернено пропорційно моменту інерції J. Слід підкреслити, що момент інерції не залежить ні від моменту зовнішніх сил М, ні від кутового прискорення.
Маятник Обербека складається з хрестовини, на стрижнях якої знаходяться вантажі. Вони можуть переміщатися по стрижнях і закріплюватися в потрібному положенні (див. Рисунок 2). Хрестовина з вантажами насаджена на вал, на якому укріплені два шківа різного радіусу. На шків намотана нитка, яка перекинута через блок. До її кінця прив'язана гирька, момент сили тяжіння якої врівноважує момент сил тертя (вага цієї гирьки в розрахунках не враховується).
До
де g - прискорення вільного падіння; а - прискорення, з яким рухається вантаж.
Хрестовина приходить в обертальний рух під дією моменту сили натягу
де rо - радіус шківа.
З рівнянь (1) - (3) можна отримати
Так як кутове прискорення пов'язане з прискоренням а співвідношенням = а / r0. то формулу (4) можна записати у вигляді
де а = 2h / t 2; h - шлях, пройдений вантажем за времяt.
З теоретичних міркувань випливає, що момент інерції хрестовини з чотирма вантажами масою, якщо вважати вантажі матеріальними точками
де J0 - момент інерції тіла пріr = 0.
З формули (7) випливає, що J = f (r2). Отже, якщо побудувати графік цієї функції в координатах J-r 2. то повинна вийти пряма, продовження якої буде перетинати осі ординат в деякій точці, відповідної J0. Така побудова можна зробити наближено, «на око». Однак математичні методи обробки результатів спостереження дозволяють зробити таке побудова досить точним. Найпростіше це можна зробити, за допомогою методу найменших квадратів, обчисливши J0 і.
Для зручності перепишемо формулу (7) у вигляді
де число дослідів; Ji - експериментальне значення моменту інерцііJе,
Розрахувавши J0 і b за формулами (9), слід побудувати залежність J від x за формулою (8). Так як через дві точки можна провести тільки одну пряму, то для побудови цієї прямої можна взяти якісь дві зручні точки. Далі за формулою (8) розрахувати момент інерції Jp для кожного досвіду, заповнюючи останній стовпець табл.1.
Середнє квадратичне відхилення
.
За даними досвіду і розрахунків слід побудувати графік функції в координатах J - r 2 (8), отриманий методом найменших квадратів.