Почленное інтегрування або диференціювання статечного ряду не змінюють його радіус збіжності.
Доведення. Під почленного інтеграції розуміється інтегрування ряду по відрізку. Результат цієї операції:.
Це теж статечної ряд, його радіус збіжності дорівнює радіусу збіжності вихідного ряду.
Ряд, що виходить в результаті почленного диференціювання теж статечної ряд:. Його радіус збіжності теж дорівнює радіусу збіжності вихідного ряду.
2. (Почленне інтегрування статечного ряду). Нехай сума статечного ряду на області збіжності дорівнює функції. тобто . Тоді для.
Доведення. Справедливість цього твердження випливає з рівномірною збіжності статечного ряду на відрізку іТеореми 18.2.3.2 про почленного інтеграції рівномірно сходиться ряду.
3. (Почленне диференціювання статечного ряду). Статечної ряд можна почленно диференціювати в будь-якій точці інтервалу збіжності, і.
Доведення. Справедливість цього твердження випливає з рівномірною збіжності статечного ряду, складеного з похідних членів вихідного ряду, на будь-якому відрізку, що лежить в інтервалі збіжності іТеореми 18.2.3.3 про почленного диференціюванні рівномірно сходиться ряду.
4. (Нескінченна дифференцируемость суми степеневого ряду). Сума статечного ряду в будь-якій точці інтервалу збіжності має похідні будь-якого порядку; ці похідні можуть бути отримані послідовним почленного дифференцированием вихідного ряду.
Доведення. Справедливість цього твердження випливає з доведеної теореми про почленного диференціюванні статечного ряду; послідовне застосування цієї теореми дає і т.д.
18.2.5. Ряд Тейлора. Ми довели, що сума степеневого ряду в будь-якій точці інтервалу збіжності нескінченно диференційована. Висловимо коефіцієнти ряду через похідні суми (схоже завдання ми вирішували в розділі 7.7. Формула Тейлора).
. Покладемо тут. Всі члени ряду, крім нульового, зникають, і.
Продовжуючи цей процес, отримаємо. Замінивши коефіцієнти отриманими виразами, уявімо ряд як
. Ряд, що стоїть в правій частині цієї формули, називається рядом Тейлора функції. В окремому випадку, коли і ряд приймає вид
. його прийнято називати поруч Маклорена. Нагадаємо, що ці ряди отримані в припущенні, що - сума статечного ряду і х - точка інтервалу збіжності.
Тепер розглянемо зворотну задачу: якою має бути функція. щоб її можна було представити у вигляді суми степеневого ряду? Перше, що очевидно, це те, що повинна бути нескінченно дифференцируемой функцією (так як сума ряду нескінченно диференційована). Друге - те, що коефіцієнти ряду повинні бути рівні. Тому припустимо, що дана нескінченно диференційована функція. ми знайшли коефіцієнти ряду за формулою. склали формальний ряд і знайшли область його збіжності. Чи буде сума цього ряду на області збіжності дорівнює. Це те питання, яким ми будемо займатися далі.
Наведемо приклад, коли ряд Маклорена функції сходиться ні до. а до іншої функції. Нехай Ми доведемо, що всі похідні цієї функції в точці х = 0 дорівнюють нулю. При. . Такі невизначеності доведеться розкривати при обчисленні будь похідною; заміною t = 1 / x вони зводяться до невизначеності, що містить статечні та показові функції, значення межі в усіх випадках визначається межею показовою функції і дорівнює нулю. Значення похідної в точці х = 0 знаходимо за визначенням похідної:
. Отже, похідна неперервна в точці х = 0 і дорівнює нулю. і т.д. Так доводиться, що всі похідні в точці х = 0 дорівнюють нулю. Як наслідок, всі коефіцієнти ряду Тейлора цієї функції дорівнюють нулю, і на всій числовій осі ряд сходиться до функції, тотожно рівний нулю, а не до.
Сформулюємо умови, при яких ряд Тейлора функції сходиться до цієї функції. Ці умови зручно сформулювати в термінах залишкового члена формули Тейлора. Нагадаємо результати розділу 7.7. Формула Тейлора. якщо має в околиці точки все похідні до n + 1-го порядку включно, то може бути представлена у вигляді формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа:. де - залишковий член у формі Лагранжа; - точка, розташована між х і. .
Теорема. Для того, щоб нескінченно диференційована функція в околі точки розкладалася в ряд Тейлора, необхідно і достатньо, щоб.
Доведення. Необхідність. Нехай в околі точки функція представлена у вигляді сходиться до цієї функції ряду Тейлора. де - часткова сума ряду, - його залишок. Так як має необхідну кількість похідних, вона може бути представлена і у вигляді формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа:. Порівнюючи ці уявлення, отримуємо. З збіжності ряду до слід, що. що й потрібно було довести.
Достатність. Якщо. то. тобто залишок ряду прямує до нуля при. тобто ряд сходиться до функції.