Завдання 10. Знайти екстремум функції
Знайдемо приватні похідні:
і змішану похідну.
Необхідна умова екстремуму: і
Вирішимо систему рівнянь x = 2y, 4y - y = -9, y = -3
Отже, точка P (-9; -3) критична точка. Складемо вираз і обчислимо його значення в критичній точці P (-9; -3). Тоді, якщо. то P- точка екстремуму. При цьому, якщо. то Р - точка мінімуму,
а якщо . то Р - точка максимуму,
Якщо. екстремуму немає, а якщо - екстремум може бути, а може не бути. Потрібні додаткові дослідження.
Встановимо характер екстремуму в точці P (-9; -3).
. отже, P (-9; -3) - точка екстремуму, а так як незалежно від координат точки Р, то P (-9; -3) - точка мінімуму даної функції.
Пропоновані інтеграли можна. застосувавши основні методи
інтегрування; метод заміни змінної підстановка, метод
інтегрування по частинах.
Підстановка:. Знайдемо диференціали обох частин підстановки
або. Зробимо заміну змінної в подинтегрального вираженні і знайдемо інтеграл.
У першому з дитинства інтегралів, що стоять праворуч, введемо підстановку. звідки або. Таким чином, .
Другий інтеграл справа є табличним.
Отже,. де. дві довільні постійні суми невизначених інтегралів об'єднують в одну.
Отримаємо табличний інтеграл типу. Повертаючись до колишньої змінної, будемо мати.
г). Знайдемо його методом інтегрування частинами по формулі.
У першому з цих двох рівностей обидві частини диференціюючи, щоб знайти. а в другому інтегруємо, щоб знайти. Отримаємо. (Тут довільну постійну інтегрування приймаємо рівною нулю, оскільки досить хоча б одного значення).
Застосувавши формулу інтегрування частинами, отримаємо
д). Це інтеграл від раціональної функції. Розкладемо підінтегральної функції на найпростіші дроби за відомим правилом, попередньо розклавши знаменник дробу на множники. Тоді. де A, B, M, N - невизначені коефіцієнти, які треба знайти. Привівши обидві частини останнього рівності до спільного знаменника, знайдемо
Таке рівність відносин з однаковими знаменниками можливі тільки в разі рівності числителей, тобто.
Прирівнюючи коефіцієнти при x в однакових ступенях в лівій і правій частинах останнього рівності, отримаємо систему рівнянь
Переходимо до інтегрування
Наведемо два завдання геометричного характеру, пов'язані з обчисленнями певного інтеграла.
Завдання 12. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями,
Рішення. Фігура ОМА (рис.4) обмежена даними лініями, складається з двох частин ОМВ і ВМА, що представляють собою окремі випадки криволінійних трапецій, обмежених зверху кривою на і примою на. Таким чином шукана площа обчислюється за допомогою визначеного інтеграла як сума двох площ за формулою
Певні інтеграли обчислюються за ф> рмуле Ньютона-Лейбніца. Отже, площа ОМА дорівнює
Завдання 13. Обчислити об'єм тіла, отриманого в результаті обертання
навколо осі фігури, обмеженої лініями. ,
Рішення. Обсяг тіла обертання знаходимо за формулою
Завдання 14. Знайти приватне рішення диференціального рівняння
. задовольняє початковим умовам
Це рівняння першого порядку є лінійним, так як це задовольняє загальному вигляду лінійних рівнянь. Будемо шукати рішення у вигляді. де. - диференціюються від. Тоді. Підставляючи. в дане рівняння, отримаємо
Прирівняємо нулю вираз, що стоїть в дужках і отримаємо рівняння із перемінними чи. або. Інтегруючи обидві частини рівняння, знаходимо або (Тут вважають довільну постійну рівною нулю). Звідки. Підставляючи його рівняння. прийдемо до його загального рівняння із перемінними чи. або. або. звідки.
А так як рішення шукається у вигляді. то воно буде таким. Це-загальне рішення, в якому - довільна постійна. Вирішимо тепер завдання Коші: із загального рішення по заданих початкових умов визначимо приватне рішення. Для цього підставимо в загальне рішення початкові умови. Отримаємо або. або. або. звідки. Підставляючи це значення постійної в загальне рішення, отримаємо приватне рішення задовольняє початковим умовам.
Завдання 15. Знайти область збіжності статечного ряду.
Область збіжності називається безліч всіх точок збіжності даного ряду. Знайдемо радіус і інтервал збіжності.
Де. Радіус збіжності. Тоді інтервал збіжності. Досліджуємо збіжність ряду на кінцях цього інтервалу.
1) Підставами в даний статечної ряд. Отримаємо числовий ряд. Цей ряд є розбіжним, тому що не виконується необхідна умова його збіжності.
2) Підставляючи в статечної ряд. отримаємо Знакозмінні числовий ряд. який розходиться по тій же причині: його загальний член при прагне до 1, а не до 0.
Отже, область збіжності даного статечного ряду.