Закони Кеплера і конфігурації планет

Мета роботи. вивчення закономірностей в русі планет і обчислення їх конфігурацій.

Посібники. Астрономічний календар - постійна частина або Довідник любителя астрономії; Астрономічний календар-щорічник; Малий зоряний атлас А.А. Михайлова; калькулятор.

Під дією гравітаційного тяжіння до Сонця планети обертаються навколо нього по слабовитянутим еліптичних орбітах. Сонце знаходиться в одному з фокусів еліптичної орбіти планети. Це рух підпорядковується законам Кеплера.

Величина великої півосі

еліптичної орбіти планети є також середнім відстанню від планети до Сонця. Завдяки незначним ексцентриситетомі невеликим нахилахорбіт більших планет, можна при вирішенні багатьох завдань наближено вважати ці орбіти круговими з радіусомі лежать практично в одній площині - в площині екліптики (площини земної орбіти).

Згідно з третім законом Кеплера, якщо

і- відповідно зіркові (сидеричні) періоди обертання деякої планети і Землі навколо Сонця, аі- великі півосі їх орбіт, то

.

Тут періоди обертання планети і Землі можуть бути виражені в будь-яких одиницях, але розмірності

іповинні бути однакові. Подібне твердження справедливо і для великих піввісьі.

Якщо за одиницю виміру часу прийняти 1 тропічний рік (

- період обертання Землі навколо Сонця), а за одиницю виміру відстані 1 астрономічну одиницю (), То третій закон Кеплера (7.1) можна переписати у вигляді

.

Кутова і лінійна швидкості планети при її русі на орбіті періодично змінюються відповідно до другого закону Кеплера. Їх середні швидкість може виявитися пораховані за середньою віддаленості

планети від Сонця.

Середня добова кутова швидкість планети, визначається виразом

,

де

- сидеричний період обертання планети навколо Сонця, виражений в середній сонячній добі.

Очевидно, для Землі середня кутова швидкість визначається формулою

Знак «-» відповідає внутрішнім або нижнім планетам (Меркурій, Венера), а «+» - зовнішнім або верхнім (Марс, Юпітер, Сатурн, Уран, Нептун). У цій формулі

івиражені в роках. У разі необхідності знайдені значенняізавжди можуть бути виражені в добі.

Взаємне розташування планет легко встановлюється по їх геліоцентричним екліптичні сферичних координат, значення яких на різні дні року публікуються в астрономічних календарях-щорічниках, в таблиці під назвою «геліоцентричні довготи планет».

Центром цієї системи координат (рис. 7.1) є центр Сонця, а основним колом - екліптика, полюса якої

івідстоять від неї на 90º.

Великі кола, проведені через полюси екліптики, називаються колами екліптичною широти. по ним відраховується від екліптики геліоцентрична екліптична широта

. яка вважається позитивною в північному екліптичні півкулі і негативною в південному екліптичні півкулі небесної сфери. Геліоцентрична екліптична довгота відраховується по екліптиці від точки весняного рівнодення  проти годинникової стрілки до підстави кола широти світила і має значення в межах від 0º до 360º.

Через малого способу орбіт великих планет до площини екліптики, ці орбіти завжди знаходяться поблизу екліптики, і в першому наближенні можна вважати їх геліоцентричну довготу

, визначаючи положення планети щодо Сонця лише однієї її геліоцентричної екліптичною довготою.

Мал. 7.1. Екліптична система небесних координат

Розглянемо орбіти Землі і деякої внутрішньої планети (рис. 7.2), використовуючи геліоцентричну екліптичні систему координат. У ній основним колом є екліптика, а нуль-пунктом - точка весняного рівнодення . Відлік екліптичною геліоцентричної довготи планети ведеться від напряму «Сонце - точка весняного рівнодення » до напряму «Сонце - планета» проти годинникової стрілки. Для простоти будемо вважати площини орбіт Землі і планети збігаються, а самі орбіти - круговими. Тоді положення планети на орбіті задається її екліптичною геліоцентричної довготою

.

Якщо центр екліптичною системи координат поєднати з центром Землі, то це буде геоцентрична екліптична система координат. Тоді кут між напрямками «центр Землі - точка весняного рівнодення » і «центр Землі - планета» називається екліптичною геоцентрической довготою планети

. Геліоцентрична екліптична довгота Земліі геоцентрична екліптична довгота Сонця, як видно з рис. 7.2, пов'язані співвідношенням:

.

Будемо називати конфігурацією планети деяке фіксоване взаємне розташування планети, Землі і Сонця.

Розглянемо окремо конфігурації внутрішніх і зовнішніх планет.

Мал. 7.2. Геліо- і геоцентрична системи екліптичних координат

Розрізняють чотири конфігурації внутрішніх планет: нижнє з'єднання (н.с.), верхнє з'єднання (В.С.), найбільша західна елонгація (н.з.е.) і найбільша східна елонгація (н.в.е.).

У нижньому сполученні (н.с.) внутрішня планета знаходиться на прямій, що з'єднує Сонце і Землю, між Сонцем і Землею (рис. 7.3). Для земного спостерігача в цей момент внутрішня планета «з'єднується» з Сонцем, тобто видна на тлі Сонця. При цьому екліптичні геоцентричні довготи Сонця і внутрішньої планети рівні, тобто:

.

Поблизу нижнього з'єднання планета переміщається на небі в попятном русі навколо Сонця, над горизонтом знаходиться днем, причому близько Сонця, і спостерігати її, розглядаючи що-небудь на її поверхні, неможливо. Дуже рідко вдається побачити унікальне астрономічне явище - проходження внутрішньої планети (Меркурія або Венери) по диску Сонця.

Мал. 7.3. Конфігурації внутрішніх планет

Так як кутова швидкість внутрішньої планети більше кутової швидкості Землі, через деякий час планета зміститься в положення, де напряму «планета-Сонце» і «планета-Земля» відрізняються на

(Рис. 7.3). Для земного спостерігача планета при цьому віддалена від сонячного диска на максимальний кут, або говорять, що планета в цей момент знаходиться в найбільшій елонгації (видаленні від Сонця). Розрізняють дві найбільші елонгації внутрішньої планети -Західну (н.з.е.) і східну (н.в.е.). Найбільшою західної елонгації () І планета заходить за горизонт і сходить раніше, ніж Сонце. Це означає, що спостерігати її можна вранці, перед сходом Сонця, в східній стороні неба. Це називаетсяутренней видимістю планети.

Після проходження найбільшої західної елонгації диск планети починає наближатися на небесній сфері до диску Сонця до тих пір, поки планета не зникне за диском Сонця. Ця конфігурація, коли Земля, Сонце і планета лежать на одній прямій, причому планета знаходиться за Сонцем, називається верхнім з'єднанням (В.С.) планети. Проводити в цей момент спостереження внутрішньої планети не можна.

Після верхнього з'єднання кутова відстань між планетою і Сонцем починає рости, досягаючи максимального значення в найбільшій східній елонгації (н.в.е.). При цьому геліоцентрична екліптична довгота планети більше, ніж у Сонця

(А геоцентрична - навпаки, менше, тобто). Планета в цій конфігурації сходить і заходить пізніше Сонця, що дає можливість спостерігати її ввечері після заходу Сонця (вечірня видимість).

Через еліптичності орбіт планет і Землі кут між напрямками на Сонце і на планету найбільшою елонгації не постійний, а змінюється в деяких межах, для Меркурія - від

до, для Венери - віддо.

Найбільші елонгації - найзручніші моменти для спостережень внутрішніх планет. Але так як навіть в цих змінах Меркурій і Венера не відходять на небесній сфері далеко від Сонця, спостерігати їх протягом всієї ночі не можна. Тривалість вечірньої (і ранкової) видимості у Венери не перевищує 4 годин, а в Меркурія - не більше 1.5 години. Можна сказати, що Меркурій завжди «купається» в сонячних променях - його доводиться спостерігати або безпосередньо перед сходом Сонця, або відразу після заходу, на світлому небі. Відомий блиск (зоряна величина) Меркурія змінюється з часом в межах від

до. Видима зоряна величина Венери варіюється віддо. Венера - найяскравіший об'єкт на небі після Сонця і Місяця.

У зовнішніх планет також розрізняють чотири конфігурації (рис. 7.4): з'єднання (с.), Протистояння (п.), Східна та західна квадратури (з.кв. і в.кв.).

Мал. 7.4. Конфігурації зовнішніх планет

У конфігурації «з'єднання» зовнішня планета розташована на прямій, що з'єднує Сонце і Землю, за Сонцем. У цей момент спостерігати її не можна.

Так як кутова швидкість зовнішньої планети менше, ніж у Землі, подальше відносний рух планети на небесній сфері буде зворотним. При цьому вона поступово зміщуватиметься на захід від Сонця. Коли кутовий видалення зовнішньої планети від Сонця досягне

, вона потрапить в конфігурацію «західна квадратура». При цьому планета буде видна в східній стороні неба всю другу половину ночі до сходу.

У конфігурації «протистояння», яку називають іноді також «опозиція», планета відстоїть на небі від Сонця на

, тоді

,