Щоб отримати уявлення про точність найпростіших аппроксимаций значень похідних в вузлових точках, визначених формулами (20.6) - (20.10), (20.12), будемо припускати, що дана функція f (x) має достатню для виведення залишкових членів гладкістю. Знання структури наближених виразів для похідних, отриманих з інтерполяційних міркувань, дозволяє без особливих зусиль (по крайней мере, для симетричних аппроксимаций) вивести формули їх залишкових членів, маніпулюючи розкладаннями f (x) за формулою Тейлора відповідних порядків. Покажемо це.
Найпростіша несиметрична апроксимація f ¢ (xi) (формули першого порядку точності). Запишемо уявлення функції f (x) за формулою Тейлора в околиці точки xi:
Висловивши звідси f ¢ (x), маємо
Перший член правої частини цієї рівності - різницеве відношення, апроксимує похідну поблизу xi. а другий - залишковий член, що характеризує точність такої апроксимації. При фіксуванні в (20.13) х = xi одночасно зафіксується і невідома точка; таким чином, приходимо до формули лівої апроксимації f ¢ (xi) із залишковим членом:
Аналогічно при х = xi + 1 з (20.13) одержуємо формулу правої апроксимації f ¢ (xi) із залишковим членом:
У наближених равенствах
при i = 1 дізнаємося виведені раніше формули (20.6), (20.7), а залишкові члени в (20.14), (20.15) говорять про те, що, користуючись апроксимаціями (20.16), (20.17), ми робимо помилку O (h) , тобто ці формули мають перший порядок точності. Певну інформацію про помилки лівої і правої аппроксимаций першого порядку дає знання знаків залишкових членів.
Найпростіша симетрична апроксимація f ¢ (xi) (формула другого порядку точності). з розкладання
Виконавши почленное віднімання двох останніх рівностей, отримуємо
звідки за допомогою теореми про повну загальну середню, застосованої до суми третє похідних в квадратних дужках, приходимо до формули симетричною апроксимації f ¢ (xi) із залишковим членом:
a вид її залишкового члена означає, що апроксимація (6.19) має второйпорядок точності щодо кроку h.
Найпростіші апроксимації другої похідної. з уявлення
звідки почленного складанням отримуємо
Висловлюючи з останнього рівності, приходимо до формули симетричною апроксимації з залишковим членом:
Остаточний член цієї формули деяким характеризує наближене рівність
як апроксимацію другої похідної в точці хi, другого порядку точності, тобто з похибкою O (h 2).
Те ж відношення (20.21), що використовується в якості несиметричною апроксимації другої похідної функції f (x), тобто для обчислення наближених значень і дає лише перший порядок точності.
Генерація сторінки за: 0.005 сек.