Невизначений інтеграл та його геометричний зміст. Основні властивості невизначеного інтеграла.
Основні методи інтегрування невизначеного інтеграла.
Визначений інтеграл та його геометричний зміст.
Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначеного інтеграла.
Знаючи похідну або диференціал функції, можна знайти саму цю функцію (відновити функцію). Така дія, зворотне диференціювання, називається інтегруванням.
Первісної функцією по відношенню до даної функції називається така функція, похідна від якої дорівнює даній функції, тобто
Для даної функції первісних функцій незліченна безліч, тому що будь-яка з функцій, також є первісною для.
Сукупність всіх первісних для даної функції називається її невизначеним інтегралом позначається символом:
називається подинтегрального виразом, функція - підінтегральної функцією.
Геометричний сенс невизначеного інтеграла. Геометрично, невизначений інтеграл являє собою сімейство інтегральних кривих на площині, отриманих шляхом паралельного перенесення графіка функції вздовж осі ординат (рис. 3).
Основні властивості невизначеного інтеграла
Властивість 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:
Властивість 2. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом:
Властивість 3. Інтеграл від диференціала функції дорівнює цій функції плюс const:
Властивість 4. Лінійність інтеграла.
Таблиця основних інтегралів
Основні методи інтегрування
Безпосереднє інтегрування - це метод, заснований на застосуванні тотожних перетворень підінтегральної функції, а також основних властивостей невизначеного інтеграла і табличних інтегралів. Найбільш часто використовуються наступні перетворення підінтегральної функції:
поділ чисельника на знаменник почленно;
застосування формул скороченого множення;
застосування тригонометричних тотожностей.
Заміна змінної (метод підстановки) - це метод, що полягає у введенні нової змінної з метою перетворення даного інтеграла в табличний. Найчастіше цей метод використовується, якщо в подинтегрального вираженні міститься складна функція, тоді її проміжний аргумент і треба позначити як нову змінну, наприклад. Далі необхідно виконати наступні дії:
знайти диференціал нової змінної;
записати колишній інтеграл, використовуючи тільки змінну, якщо підстановка зроблена правильно, то отриманий інтеграл повинен бути табличним;
використовуючи таблицю інтегралів, записати рішення для підінтегральної функції;
здійснити зворотний підстановку, замінивши змінну.
Метод інтегрування частинами - це метод, який полягає у використанні формули:
Цей метод застосовується в тому випадку, якщо інтеграл є більш простим для вирішення чим. Як правило, цим методом вирішуються інтеграли виду, де - многочлен, а - одна з таких функцій:,,,,,,.
Розглянемо деяку функцію, визначену на проміжку, рис. 4. Виконаємо 5 операцій.
1. Розіб'ємо проміжок точками довільним чином на частин. Позначимо, а найбільшу з довжин цих часткових ділянок позначимо через, будемо називати рангом дроблення.
2. На кожному частковому ділянці візьмемо довільну точку і обчислимо в ній значення функції.
3. Складемо твір
4. Складемо суму. Ця сума називається інтегральною сумою або сумою Рімана.
5. Подрібнюючи дроблення (за рахунок збільшення числа точок дроблення) і спрямовуючи при цьому ранг дроблення до нуля () тобто (Збільшуючи число точок дроблення, ми стежимо за тим, щоб зменшувалася і наближалася до нуля довжина всіх часткових ділянок), будемо знаходити межу послідовності інтегральних сум
Якщо ця межа існує, не залежить від способу дроблення і вибору точок, то він називається певним інтегралом від функції по проміжку і позначається так:.
Геометричний сенс певного інтеграла. Припустимо, що функція неперервна і позитивна на проміжку. Розглянемо криволінійну трапецію ABCD (рис. 4). Інтегральна сума дає нам суму площ прямокутників з підставами і висотами. Її можна прийняти за наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD. тобто
причому, це рівність буде тим точніше, чим дрібніше дроблення, і в межі при n → + ∞ і λ → 0 ми отримаємо:
В цьому і полягає геометричний сенс певного інтеграла.
Основні властивості визначеного інтеграла
Властивість 1. Визначений інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю.
Властивість 2. При зміні місцями меж інтегрування певний інтеграл змінює знак на протилежний.
Властивість 3. Лінійність інтеграла.
З войства 4. Які б не були числа, якщо функція інтегровна на кожному з проміжків,, (рис. 5), то:
Теорема. Якщо функція неперервна на проміжку, то визначений інтеграл від цієї функції по проміжку дорівнює різниці значень будь-якої первісної цієї функції на верхньому і на нижньому межах інтегрування, тобто
Ця формула зводить знаходження певних інтегралів до знаходження невизначених інтегралів. Різниця називається приростом первісної і позначається.
Розглянемо основні способи обчислення певного інтеграла: заміну змінних (підстановку) і інтегрування по частинах.
Підстановка (заміна змінної) в певному інтегралі - необхідно виконати наступні дії:
ввести нову змінну;
знайти диференціал нової змінної;
обчислити нові значення меж інтегрування:
записати колишній інтеграл, використовуючи тільки змінну і нові межі і;
використовуючи таблицю інтегралів, записати рішення для отриманої підінтегральної функції;
застосувавши формулу Ньютона-Лейбніца, обчислити значення визначеного інтеграла.
Зауваження. При обчисленні визначених інтегралів за допомогою підстановки немає необхідності повертатися до початкового аргументу.
2. Інтегрування по частинах в певному інтегралі зводиться до застосування формули:
Приклади розв'язання задач
Завдання 1. Знайти невизначений інтеграл методом безпосереднього інтегрування.
1.. Використовуючи властивість невизначеного інтеграла, винесемо за знак інтеграла постійний множник. Потім, виконуючи елементарні математичні перетворення, наведемо підінтегральної функції до степеневим увазі:
Завдання 2. Знайти невизначений інтеграл, використовуючи метод заміни змінної.
1.. Зробимо заміну змінної, тоді. Вихідний інтеграл набуде вигляду:
Таким чином, ми отримали невизначений інтеграл табличного виду: статечна функція. Використовуючи правило знаходження невизначеного інтеграла від статечної функції, знайдемо:
Зробивши зворотний заміну, отримаємо остаточну відповідь:
Завдання 3. Знайти невизначений інтеграл, використовуючи метод інтегрування частинами.
1.. Введемо наступні позначення:
Тоді диференціюючи перший вираз і інтегруючи друге, отримаємо:
Тепер підставивши в формулу методу інтегрування частинами введені нами позначення і, отримаємо:
Завдання 4. Обчислити визначений інтеграл.
. Рішення. За формулою Ньютона-Лейбніца маємо:
. Рішення. За формулою Ньютона-Лейбніца маємо:
. Рішення. На підставі властивостей певного інтеграла і формули Ньютона-Лейбніца отримуємо:
Завдання для самостійного рішення
Вирішити невизначені інтеграли:
Основна освітня програма
4 Інтегральноеісчісленіе функцій однієї дійсної змінної 9. невизначений інтеграл. властивості. інтегрування основних класів функцій Первісна функції. Невизначений інтеграл. Свойстванеопределенногоінтеграла. Таблиця основних.
4 невизначений інтеграл Первісна функція і невизначений інтеграл. Основниесвойстванеопределенногоінтеграла. Ізокванта Інтеграл. Інтегральна крива Інтегральна сума - -. геометріческійсмислІнтегральноеісчісленіеІнтегральний.
(Лабораторно-практичне заняття) 2 2.Первообразная. Невизначений інтеграл 1. Первісна. Невизначений інтеграл та егосвойства. Таблиця основних інтегралів. Основні методи інтегрування: підведення.
практичних занять. і егогеометріческійсмисл •. основне поняття інтегральногоісчісленія - поняття неопределенногоінтеграла. неопределенногоінтеграла • Основниесвойстванеопределенногоінтеграла • Використовувати таблицю основнихнеопределенних.
основні закони. Інтегральноеісчісленіе функції однієї змінної Первісна. Невизначений інтеграл та егосвойства. інтеграл і егогеометріческійсмисл. Інтеграл. координатах. Невизначений інтеграл і. і практичні заняття ". Петрушко І.М.