Заперечення, гуманітарна енциклопедія

1. Заперечення в логіці

Заперечення в логіці (див. Логіка) розглядається як логічний еквівалент негативного висловлювання «невірно, що ...» або негативної частки «не» і являє собою логічну операцію, формалізує логічні властивості цих слів. Залежно від місця розташування розрізняють зовнішнє і внутрішнє заперечення, властивості і ролі яких істотно розрізняються.

1.1. Зовнішнє логічне заперечення

Зовнішнє (пропозіціональное) заперечення служить для утворення складного висловлювання з іншого (не обов'язково простого) висловлювання. У ньому стверджується відсутність положення справ, описуваного в заперечують висловлюванні. Традиційно негативне висловлювання вважається дійсним, якщо, і тільки якщо, заперечується висловлення помилкове. У природній мові заперечення зазвичай виражається обігом «невірно, що ...», за яким слід заперечується висловлювання. У мовах формальних теорій запереченням називається особлива унарна пропозіціональная зв'язка, яка використовується для утворення з однієї формули інший, більш складною. Для позначень заперечення зазвичай використовуються символи «

Фактично вказане вище традиційне розуміння зовнішнього (пропозіціонального) заперечення може бути виражено через систему таких вимог:

(I) Якщо A - істинно (помилково), то чи не-A - помилково (істинно);

(II) Якщо не-A - істинно (помилково), то A - помилково (істинно).

Формально вимоги (I) і (II) можуть бути виражені через умову (1) A ⊧ ¬ B ⇒ B ⊧ ¬ A. зване «конструктивна контрапозиции». Заперечення, що задовольняє умові (1), прийнято називати мінімальним запереченням.

Однак виявляється, що умова (1) можна розкласти на два слабших умови: (2) A ⊧ B ⇒ ¬ B ⊧ ¬ A і (3) A ⊧ ¬¬ A. відомих, відповідно, як «контрапозиции» і «введення подвійного заперечення ». В результаті з'являється можливість виявити подмінімальное заперечення, яке задовольняє умові (2), але не задовольняє умові (3).

Природно сформулювати умову, зворотне (3) і формалізує принцип «зняття подвійного заперечення»: (4) ¬¬ A ⊧ A = A. Мінімальна заперечення (тобто задовольняє умові (1) або умовам (2) і (3) разом), для якого виконується умова (4), називається заперечення де Моргана. Це заперечення використовується в мові релевантних обчислень для подолання парадоксів імплікації.

Мінімальна заперечення, яке задовольняє додатковому властивості (5): Якщо A ⊧ B і A ⊧ ¬ B. то для будь-якого C вірно, що A ⊧ C ( «властивість абсурдності»), - називається інтуїционістському запереченням.

Можна сформулювати принцип (6), двоїстий принципом абсурдності: Якщо B ⊧ A і ¬ B ⊧ A. то для будь-якого C вірно, що C ⊧ A. задовольняє цим принципом заперечення являє собою різновид заперечення в паранепротиворечивая логіці (див. Логіка паранепротиворечивая).

Нарешті, заперечення де Моргана (властивості (2), (3), (4)), для якого виконується (5) або (6), називається орто-заперечення. Якщо у відповідному обчисленні приймається аксіома дистрибутивности для кон'юнкції і диз'юнкції, то орто-запереченням називається заперечення Буля, або класичним запереченням.

1.2. Внутрішнє логічне заперечення

Внутрішнє заперечення входить до складу простого висловлювання. Розрізняють заперечення в складі зв'язки (негативна зв'язка) і терміном заперечення.

Терміном заперечення використовується для освіти негативних термінів. Воно виражається через приставку «ні ...» або близькі їй за змістом.

2. Заперечення в природних мовах

У природній мові в залежності від місця розташування розрізняють зовнішнє і внутрішнє заперечення. Зовнішнє (пропозіціональное) заперечення служить для утворення складного висловлювання з іншого (не обов'язково простого) висловлювання. У ньому стверджується відсутність положення справ, описуваного в заперечують висловлюванні. На підставі класичного розуміння істинності як відповідності дійсності це означає, що в разі істинності отрицаемого висловлювання заперечує його висловлювання буде хибним і навпаки. У природній мові заперечення зазвичай виражається обігом «невірно, що ...», за яким слід заперечується висловлювання. Внутрішнє заперечення входить до складу простого висловлювання.

Розрізняють заперечення в складі зв'язки (негативна зв'язка) і терміном заперечення.

Терміном заперечення використовується для освіти негативних термінів. Воно виражається через приставку «ні ...» або близькі їй за змістом. Якщо зіставити терміну безліч предметів, які він позначає, то негативного терміну буде відповідати доповнення до заперечує терміну на деякому універсумі розгляду. Таким чином, з терміном запереченням асоційована операція взяття доповнення. Останнє можна поширити і на інші види заперечення, якщо співвіднести з довільним висловлюванням безліч ситуацій (можливих світів і так далі), в яких воно істинне.

3. Заперечення в штучних мовах

У штучних мовах символічної логіки (див. Логіка символічна) запереченням називається особлива унарна пропозіціональная зв'язка, яка використовується для утворення з однієї формули інший, більш складною. Для позначень заперечення зазвичай використовуються символи «

»,« - »або« ˥ ». У класичній логіці висловлювань формула ˥A істинна тоді, і тільки тоді, коли формула A помилкова, в іншому випадку формула ˥A помилкова.

На підставі зазначеного вище відповідності між запереченням і операцією взяття доповнення, використовуючи метод формалізації, можна встановити певні співвідношення між зовнішнім і внутрішнім запереченням. У некласичних логіках заперечення може мати різні властивості з наступного набору:

Мінімальна заперечення задовольняє властивостям (1) і (2), а інтуїціоністське - властивостями (1), (2), (4). Мінімальна заперечення, яке задовольняє властивості (3), називається запереченням де Моргана. Нарешті, заперечення де Моргана, що володіє властивістю (4), називають запереченням Буля (за умови прийняття аксіоми дистрибутивности для кон'юнкції і диз'юнкції).