143. Побудуйте прямокутний трикутник по гіпотенузі і медіані, проведеної до одного з катетів.
144. Побудуйте трикутник АВС по висоті АВ, розі між ВС і медіаною АЕ, радіусу описаного кола.
145. Пряма ВЕ проходить через вершину А трикутника АВС і стосується описаної близько трикутника окружності. Доведіть, що кути ВАВ і ЕАС рівні відповідним кутах трикутника.
146. В коло вписаний рівносторонній трикутник АВС, М точка окружності, що знаходиться всередині кута АСВ. Доведіть, що МА + МВ = МС.
147. Вершини трикутника АВС знаходяться в точках I, V, VIII циферблата годинника. Побудовано висоти АМ і СВ і перпендикуляр ВЕ до АС. Доведіть, що АЕ = СМ (рис. 19).
148. Висота, бісектриса і медіана, проведені з однієї вершини трикутника, розділили його кут на 4 рівні частини. Знайдіть величини кутів трикутника.
149. Висота і медіана, проведені з однієї вершини трикутника, розділили кут на частини, які відносяться, як 4: 7: 4. Знайдіть величини кутів трикутника.
150. В трикутнику АВС за ЗС є така точка М, що ВМ = 2 МС і А- АМВ == 60. Знаючи, що ^ ВАС = 60, знайдіть величини інших кутів трикутника.
1. У чотирикутнику проведено його діагоналі. Скільки рівних відрізків могло виявитися на малюнку?
2. У чотирикутнику проведено його діагоналі. Яке найбільше число прямих кутів може виявитися на малюнку?
3. Чи правда, що серед кутів опуклого чотирикутника завжди знайдеться хоч один прямий або тупий кут?
4. Побудуйте чотирикутник АВСВ по кутах А і. В, сторонам АВ, АВ і сумі двох інших сторін.
5. У чотирикутника АВСD кут З прямої. Побудуйте цей чотирикутник по довжинах сторін АВ, АВ, СВ і величиною кута А.
7. Точка М знаходиться всередині кута, вершина якого недоступна (тобто лежить за межами доступної частини площині). Побудуйте промінь з початком М, спрямований на вершину кута.
8. Платівку у вигляді паралелограма розрізали на 3 частини, кожна з яких є рівнобедреним трикутником. На малюнку 20 зазначено, які відрізки рівні. Визначте градусні заходи кутів паралелограма.
9. Точка М знаходиться всередині даного кута. Побудуйте відрізок, яка має кінці лежать на сторонах даного кута, а середина в точці М.
10. Точки А і С знаходяться всередині даного кута. Побудуйте паралелограм АВСD, у якого вершини В і D знаходяться на сторонах даного кута.
11. АВСD паралелограм. Поза його побудовано квадрати АВРЕ і ВСКМ. Доведіть, що відрізки ЕВ і ВК взаємно перпендикулярні.
12. Побудуйте паралелограм АВСВ по положенню БС] -шин Л і В і відстаням від даної точки М до вершин С і 1,
13. Побудуйте паралелограм АВСD, якщо дана прям; і ВТ) і підстави висот, проведених з вершини В.
14. АВС1> паралелограм. Поза його побудовано рівносторонній трикутники АВМ та ВСТ. Доведіть, що А МОП - рівносторонній.
15. Периметр паралелограма 48 см. Бісектриса одне а з кутів ділить паралелограм на дві частини, різницю периметрів яких 6 см. Знайдіть довжини сторін.
16. Через точку М на підставі даного рівнобедреного трикутника проведено прямі, відповідно паралельні бічним сторонам трикутника. Доведіть, що периметр отриманого паралелограма не залежить від вибору точки М.
17. Бісектриса кута У паралелограма АВСD перетинає бік ЗС і продовження боку АВ в точках М і N. Доведіть, що трикутники АВН і МСВ рівнобедрені.
18. Діагональ паралелограма ділить його кут відносно 1. 3. Знаючи, що довжини сторін ставляться, як 1. 2, знайдіть кути паралелограма.
19. Діагоналі чотирикутника рівні, два кута його прямі. Чи є цей чотирикутник прямокутником?
20. Діагоналі ділять прямокутник на 4 частини, периметри
9 4 т. Двох з них рівні і периметра прямокутника. Як ставляться довжини сторін прямокутника?
21. На малюнку 21 зображено постать, у якій кожні дві сусідні боку взаємно перпендикулярні. Знайдіть її периметр.
22. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника ділить його сторону на частини, одна з яких вдвічі більша за іншу. Визначте, на які частини діагональ ділить кут прямокутника.
23. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника ділить його сторону на частини, одна з яких дорівнює меншою боці прямокутника. Знайдіть кут між діагоналями прямокутника.
24. АВСВ прямокутник. На сторонах АВ і СВ відкладено рівні відтинки ВМ і СЕ; МК перпендикуляр, опущений на АС. Знайдіть / - ВКЕ.
25. На стороні ВС хтрямоугольніка АВСВ є така точка М, що / - АМВ == А. АМВ. Знаючи, що АВ = 2 АВ, знайдіть величини названих кутів.
26. Точка перетину діагоналей чотирикутника рівновіддалена від усіх його сторін. Встановіть вид чотирикутника.
27. Поза ромба АВСВ побудований рівносторонній трикутник АМВ. Знайдіть / - СМВ.
28. Вирішіть завдання 27 для випадку, коли М перебуває всередині ромба.
29. бісектриси кутів ВАС і ВDС паралелограма АВСD перетинаються під кутом 45. Знайдіть кут між биссектрисами угло.