Непарні числа - це ті, які при діленні на 2 дають в залишку 1 (наприклад, 1, 3, 5 і т.п.). Кожне таке число можна записати у вигляді 2 * K + 1, підібравши відповідне ціле K (наприклад, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, і т.д.).
Додавання і віднімання:
Парне ± парне = парне
Парне ± Непарна = Непарна
Непарне ± парне = непарне
Непарне ± непарне = парне
Парне × парне = парне
Парне × Непарна = парне
Непарне × непарне = непарне
Розглянемо також властивості парних і непарних чисел, важливі для вирішення завдань.
1. Якщо хоча б один множник твори двох (або декількох) чисел четен, то і весь твір парне.
2. Якщо кожен множник твори двох (або декількох) чисел непарне, то і весь твір непарній.
3. Сума будь-якої кількості парних чисел - число парне.
4. Сума парного і непарного чисел - число непарне.
5. Сума будь-якої кількості непарних чисел - число парне, якщо число доданків парне, і непарне, якщо число доданків непарній.
У справедливості цих властивостей ми переконаємося при вирішенні завдань.
Завдання 1. У магазин "Все для собак і кішок" привезли нові іграшки. Чи можуть десять іграшок ціною в 3, 5 або 7 рублів коштувати в сумі 53 рубля?
Рішення. Сума парного кількості непарних чисел парна. У нас є 10 чисел (ціна однієї іграшки), всі вони непарні, значить їх сума повинна бути парна. Але 53 - число непарне, тому отримати його у вигляді суми 10 непарних чисел не можна.
Рішення: На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 25 непарних чисел - непарна.
Завдання 3. У Антоша було 5 плиток шоколаду. Чи може Антоша, поділивши кожну плитку на 9, 15 або 25 шматочків, отримати всього 100 шматків шоколаду?
Відповідь. Ні, тому що якщо скласти 5 непарних чисел, отримаємо непарний результат. А 100 парне.
Завдання 4. На площині розташовано 9 шестерень, з'єднаних по ланцюжку (перша з другої, друга з третьою. 9-я з першої). Чи можуть вони обертатися одночасно?
Рішення: Ні, не можуть. Якби вони могли обертатися, то в замкнутій ланцюжку чередовалось б два види шестерень: обертові за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки (для вирішення завдання не має ніякого значення, в якому саме напрямку обертається перша шестерня!) Тоді все повинно бути парне число шестерень, а їх 9 штук. ч.і.т.д. (Знак "?!" Позначає отримання протиріччя)
Завдання 5. парних або непарних сума всіх натуральних чисел від 1 до 17?
З 17 натуральних чисел 8 парних:
2,4,6,8,10,12,14,16, інші 9 непарні. Сума всіх цих парних чисел парна (властивість 3), сума непарних непарна (властивість 5). Тоді сума всіх 17 чисел непарна як сума парного і непарного чисел (властивість 4).
Завдання 6. У п'ятиповерховому будинку з чотирма під'їздами підрахували число жителів на кожному поверсі і, крім того, в кожному під'їзді. Чи можуть всі отримані 9 чисел бути непарними?
Позначимо число жителів на поверхах відповідно через a1 a2 a3 а4, a5, a число жителів в під'їздах відповідно через b1 b2 b3 b4. Тоді загальне число жителів будинку можна підрахувати двома способами - по поверхах і по під'їздах:
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1, + b2 + b3 + b4.
Якби всі ці 9 чисел були непарними, то сума в лівій частині записаного рівності була б непарної, а сума в правій частині - парної. Отже, це неможливо.
Завдання 7. парному або непарній твір (7а + b - 2с + 1) (3а - 5b + 4с + 10), де числа a, b, с - цілі?
Рішення. Можна перебирати випадки, пов'язані з парністю або непарних чисел а, b і с (8 випадків!), Але простіше поступити інакше. Складемо множники:
(7а + b - 2с + 1) + (За -5 b + 4с + 10) = 10а - 4 b + 2с + 11.
Так як отримана сума непарна, то один з множників даного
твори четен, а інший непарне. Отже, сам твір парне.
Завдання 8. Щеня Антошка надряпав на дошці: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 33, причому замість кожної зірочки він поставив або плюс, або мінус. Філя переправив кілька знаків на протилежні і в результаті замість числа 33 отримав число 32. Чи вірно, що щонайменше один з цуценят помилився при підрахунку?
Якщо все зірочки замінити на плюси, то отримана сума буде непарної. а, отже, і дана сума - теж. Тому щонайменше помилився Філя.
А тепер основні ідеї парності: (!) Всі ці ідеї можна на олімпіаді вставляти в текст рішення задачі.
1. Якщо в деякій замкнутій ланцюжку чергуються об'єкти двох видів, то їх парне число (і кожного виду порівну).
2. Якщо в деякій ланцюжку чергуються об'єкти двох видів, а початок і кінець ланцюжка різних видів, то в ній парне число об'єктів, якщо початок і кінець одного виду, то непарне число. (Парне число об'єктів відповідає непарному числу переходів між ними і навпаки!)
2 '. Якщо в об'єкта чергуються два можливих стану, а поточна й кінцеве стану різні, то періодів перебування об'єкта в тому чи іншому стані - парне число, якщо поточна й кінцеве стану збігаються - то непарне.
3. Зворотно: по парності довжини чергується ланцюжку можна дізнатися, одного або різних видів її початок і кінець.
3 '. Зворотно: по числу періодів перебування об'єкта в одному з двох можливих чергуються станів можна дізнатися, чи збігається початковий стан з кінцевим.
4. Якщо будь-які предмети можна розбити на пари, то їх кількість парне.
5. Якщо непарне число предметів чомусь вдалося розбити на пари, то якийсь із них буде парою до самого себе, причому такий предмет може бути не один (але їх завжди непарне число).