Ваш браузер не підтримує фрейми
Анотація до статті
У даній роботі на основі закону збереження енергії і рішення відповідного інтегрального рівняння в точному вигляді отримано вираз для потенційної енергії класичної частинки по заданій статечної залежності періоду фінітного руху частинки від її повної механічної енергії. Розглянуто умови застосовності отриманого виразу, а також проведено порівняння результату з відомою потенційної енергією в окремому випадку гармонійних коливань частинки.
Текст наукової статті
При дослідженні багатьох теоретичних і прикладних завдань класичної механіки [1], а також інших розділів фізики [2], виникає необхідність визначення залежності періоду або частоти коливань від повної енергії частинки або тіла, що здійснює фінітного класичне рух в деякому зовнішньому потенційному полі. Однак іноді потрібно вирішувати зворотну задачу - задачу знаходження заздалегідь невідомої потенційної енергії частинки, що здійснює фінітного рух в деякому - часто досить складному - поле, за відомою (або з експериментальних даних, або з будь-яких інших теоретичних обгрунтувань) залежно періоду або частоти такого руху від повної механічної енергії частки. У загальному вигляді для довільної енергетичної залежності періоду такий зворотний завдання не має готового рішення, однак його можна отримати в певних приватних випадках. У даній роботі розглянуто рішення такого завдання в разі відомої статечної залежності періоду фінітного руху частинки від її повної енергії як найбільш поширеною для опису нелінійної взаємозв'язку періоду і енергії [1, 2]. Розглянемо класичну частку масою. яка може здійснювати фінітного рух в зовнішньому полі з потенційною енергією і з повною механічною енергією (). Будемо припускати, що - монотонно зростаюча при функція, графік якої симетричний щодо осі ординат, причому. Тоді, під час відсутності дисипативних сил, в силу закону збереження енергії маємо. Проинтегрируем це рівняння, розділяючи змінні, в результаті отримаємо вираз, що зв'язує період фінітного руху і потенційну енергію частки у вигляді. (1) де - точка повороту, що є коренем рівняння. Перейдемо під інтегралом в (1) до нової змінної інтегрування. Для цього спочатку висловимо з зворотну функцію. де (тобто будемо розглядати тільки позитивну піввісь в силу симетричності графіка функції). Обчисливши диференціал цієї функції у вигляді. ввівши позначення і перерахувавши межі інтегрування, отримаємо вираз, що зв'язує період фінітного руху і функцію. (2) У такому вигляді вираз (2) являє собою інтегральне рівняння Абеля [3] щодо невідомої функції. якщо вважати, що - задана функція. Це означає, що якщо ми вирішимо інтегральне рівняння (2) і знайдемо функцію. то потім знайдемо і шукану потенційну енергію з розв'язування задачі Коші для наступного диференціального рівняння першого порядку. (3) Рішення інтегрального рівняння Абеля (2) як окремого випадку інтегрального рівняння Вольтерра першого роду можна знаходити різними методами, проте простіше його знайти так, як описано в [3], в результаті отримаємо рішення інтегрального рівняння (2) в наступному вигляді. (4) Далі будемо вважати, що відома ступенева залежність періоду фінітного руху частинки від її повної енергії. (5) де - коефіцієнт пропорційності, який тільки при чисельно збігається з періодом гармонійних коливань, тобто в тому випадку, коли період не залежить від енергії коливається частки. Обчислення інтеграла в (4) з урахуванням (5), використовуючи метод заміни змінної, призводить до наступного результату. (6) де - бета-функція, певна тільки при позитивних аргументах [4]. Тому, очевидно, отриманий результат справедливий лише за умови. Після диференціювання виразу (6) по. отримаємо функцію в наступному вигляді. (7) де - гамма-функція, через яку ми висловили отриману вище бета-функцію згідно з формулою зв'язку обох цих функцій [4]. Нарешті, підставляючи знайдену функцію в диференціальне рівняння (3) і вирішуючи його при зазначеному там же початковому умови, приходимо до явного виду потенційної енергії частинки при відомій статечної залежності періоду її фінітного руху від повної енергії. (8) Для того щоб частка могла здійснювати фінітного рух, необхідно, щоб симетрична щодо осі ординат функція була зростаючої при. а значить, наш отриманий результат буде вірним лише за умови. Зокрема, при. тобто коли. отримаємо відомий вид потенційної енергії частинки, що здійснює гармонічні коливання з періодом. де має сенс коефіцієнта квазіпружної сили, що діє на частинку, який, як випливає з (8), пов'язаний з періодом коливань і масою частинки також відомим простим співвідношенням: [5]. У всіх інших можливих випадках фінітного руху () потенційна енергія частинки має більш складний вид і може бути записана наступним чином. де введено позначення для коефіцієнта. Таким чином, отримали точне рішення поставленої задачі.